Radikal ideallerin asal bolenleri

Question

$k$ cebirsel kapali bir cisim ve $S$ bu cisim uzerine $n$ degiskenli polinom halkasi olsun. $S$'deki her radikal idealin sonlu sayida asal idealin kesimine esit oldugunu gosteriniz.

Ipucu: Hilbert Nullstellensatz.

Answer 1

İfadenin daha genel hali: $R$ bir Notheryen (Noetherian) halkası olmak üzere, $R$'nin tüm radikal idealleri sonlu sayıda asal idealin kesişimidir.

İspat: Velev ki ifade doğru olmasın. İfadenin doğru olmadığı tüm radikal ideallerin kümesi, $R$ Notheryen olduğu için, bir maksimal eleman içermeli, $I$ diyelim. Açık ki $I$ bir asal ideal değil, olsaydı sonlu sayıda asalın (kendisinin) kesişimi olurdu. O halde $R$'de öyle $a$ ve $b$ elemanları vardır ki, $a,b\in I$ ve $ab\notin I$ olur. Şimdi, $$J_1=\sqrt{I+(a)}\ \text{ve}\ J_2=\sqrt{I+(b)}$$ ideallerini düşünelim. Tabii ki bu idealler $I$'dan büyük, demek ki bu idealler sonlu sayıda asal idealin kesişimi.

İddia: $I=J_1\cap J_2$

İspat: İfadenin bir tarafı açık. Diğer taraf için $f\in J_1\cap J_2$ alalım. Bu durumda öyle $m_1, m_2\in \mathbb{N}$, öyle $g_1, g_2\in I$ ve öyle $h_1, h_2\in R$ vardır ki, $$f^{m_1}=g_1+ah_1\ \text{ve}\ f^{m_2}=g_2+bh_2,$$ yani $$f^{m_1+m_2}=g_1g_2+g_1bh_2+g_2ah_1+abh_1h_2$$ eşitliği sağlanır. Bu da $f^{m_1+m_2}\in I$ olduğunu söyler. Ne mutlu ki $I$ bir radikal ideal, bu durumda $f\in I$.

İddia doğru olduğundan bir çelişki elde ettik. Demek ki böyle bir $I$ radikal ideali yok, demek ki tüm radikal idealler sonlu sayıda asal idealin kesişimi.

---

Computational Commutative Algebra 2, Kreuzer & Robbiano

---

Hilbert Sıfır Savı (Hilbert Nullstellensatz) kullanılarak yapılan ispatı da çok merak ettim. Umarım birileri paylaşır.

Comments

Bak bakayım olmuş mu?

---

Elinize sağlık :) Çok ilginçmiş, sağlam bir şekilde anlamaya çalışıyorum.

---

Seninki daha iyi ama çünkü büyük teoremler kullanmıyor. Benimki biraz balyozla sinek öldürmeye benziyor.

Answer 2

Anımsatma: Hilbert Nullstellensatz şunu gerektirir. $\mathcal{I}$ ve $\mathcal{V}$ operasyonları $S$'nin radikal idealleri ızgarasıyla $k^n$'nin Zariski topolojisi altında kapalı altkümeleri ızgarası arasında büyüklüğü ters çeviren bir izomorfizma tanımlarlar. (Eğer $X\subseteq k^n$ ise $\mathcal{I}(X)$ ile $X$ üzerinde sıfır değeri alan bütün polinomlar anlatılmaktadır. Diğer taraftan $I\subseteq S$ gibi bir ideal için de $\mathcal{V}(I)$ ile $I$'daki her elemanın sıfırı olan elemanların kümesi anlatılmaktadır.)

Bir tane $R$ diye radikal ideal alalım. $X$ de bu radikal ideale denk gelen kapalı küme olsun. $k^n$ Zariski topolojisine göre Noether tipi olduğu için ve $X$ de $k^n$ içinde kapalı olduğu için $X$ de Noether tipi bir uzaydır. O halde sonlu sayıda kapalı indirgenemez kümenin birleşimi olarak yazılabilir: $C_1,\cdots,C_r$. $X$ kümesi her şeyi kucaklayan $k^n$ uzayında kapalı olduğu için $C_i$'ler $k^n$'de de kapalı kümelerdir. Diğer yandan gösterilebilir ki (çok kolay biçimde) bu kümeler $X$ içinde indirgenemez oldukları için $k^n$ içinde de indirgenemezdirler ($k^n$ içindeki parçalama $X$ içinde de bir parçalama vereceği için bu doğru). Yani $X$ kümesini $k^n$ içinde indirgenemez olan sonlu sayıda indirgenemez $C_1,\cdots,C_r$ kümeleriyle kapladık. Şimdi $P_i$ ideali $C_i$'ye denk gelen radikal ideal olsun. $C_i$ indirgenemez olduğu için $P_i$ de asal olmak zorundadır.

Şimdi gelelim zurnanın zırt dediği yere. $X$ kapalı kümesi kapalı kümeler ızgarasında $C_1,\cdots,C_r$ kümelerinden büyük en küçük elemandır (zira onların birleşimidir). O halde bizim bizim ızgaradaki büyüklük ilişkisini ters çeviren operatörümüz ne yapacak. $X$'i $C_i$'lere denk gelen ($P_i$ demiştik bunlara) radikal (burada asallar, ne güzel) ideallerin hepsinden küçük en büyük radikal ideale gönderecek. Peki $P_i$'lerin içinde kalan en büyük ideal nedir. Tabii ki onların kesişimi. Ama onların kesişi aynı zamanda radikal bir idealdir. O halde $P_i$'lerin hepsinden küçük en büyük radikal ideal $P_i$'lerin kesişimidir. O halde bizim $\mathcal{I}$ operatörümüz $X$'i $$\bigcap_{i=1}^r P_i$$idealine gönderecek. Ama biliyoruz ki $\mathcal{I}=R$. Demek ki iddia doğruymuş. Ne mutlu :)

Comments

Eh iste, idare eder. Izgaralar iki olsun.

---

Oğlum sana mı sordum olmuş mu diye, alla alla

---

ifade ozgurlugu..

---

Bu ızgaralar arasında tanımlanan ters izomorfizma pek çok yerde var. Bölüm grubunun altgruplarıyla böleni içeren altgruplar ızgaraları arasında mesela. Galois teoride. Ama nedense bu kuvvetli teoremlerin önünü açtığı ızgara metotları pek revaç görmüyor. Ben Milne'in CFT kitabında görmüştüm bu ızgara metotlarının çok faydalı olduğunu.