Baglantili kumelerin kapanislarinin da bağlantılı oldugunu gosterin.

Question

Ve bunu kullanarak bir uzayin baglantili bilesenlerinin kapali olmak zorunda oldugu sonucunu elde edin. (Hemen simdi)

Comments

Bağlantılı küme nedir? (Yada İngilizcesi)

---

@Handan Connected (Topological) Space.

@Safak Ozden Bağlantılı kümelerin kapanışlarının da bağlantılı olduğunu gösterin.

---

Teşekkürler Özgür.

---

Düzelttim, sağolun.

Answer 1

murad.ozkoc'un yaniti standard bir yanit. Bir baska yanit ise su iki savi kullanarak verilebilir:

Sav 1. $X$ baglantili bir uzay ve $\{ 0, 1 \}$ ayrik topolojiyle donatilmis olsun. $f: X \to \{ 0, 1\} $ surekli bir fonksiyon ise $f$ sabit fonksiyondur.

Sav 1'in Kaniti. $f  : X \to \{ 0 ,1 \}$ surekli bir fonksiyon olsun. $U = f^{-1}(0)$ ve $V = f^{-1}(1)$ kumeleri acik olmak zorundalar. Ustelik, $f$ bir fonksiyon oldugu icin, $U \cap V = \emptyset$ ve $U \cup V = X$ olmak zorunda. Demek ki, ($X$ baglantili oldugu icin) $U$ ve $V$'den birisi bos olmali. Bir baska deyisle, $U$ ve $V$'den bir tanesi $X$'e esit olmali. Bu da fonksiyonun sabit olmasi demek. $\square$

Sav 2. Sav 1'in tersi de dogrudur. Yani, $X$'ten $\{ 0, 1\}$'e giden sabit fonksiyon disinda surekli fonksiyon yoksa, $X$ baglantili bir uzaydir.

Sav 2'nin Kaniti. $X$ baglantisiz bir uzay olsun. $U, V \subset X$ alt kumeleri acik, bostan farkli, birbiriyle kesismeyen ve birlesimleri butun uzayi veren acik kumeler olsun. O halde,  $$f(x) = \begin{cases} 0, \quad x \in U \text{ ise} \\ 1, \quad x \in V \text{ ise}\end{cases}$$ kuraliyla tanimlanan $f: X \to \{0,1 \}$ fonksiyonu surekli bir fonksiyondur ve sabit degildir. Contrapositive ile kanitlamis olduk. $\square$

Kanit: $X$ baglantili bir uzay ve $f: \overline{X} \to \{0,1\}$ surekli bir fonksiyon olsun. $f$'in $X$'e kisitlanisi da surekli bir fonksiyondur. $X$ baglantili oldugu icin, sav 1'den dolayi $f$'in $X$ uzerinde sabit olmasi gerektigini goruyoruz. Her $x \in X$ icin $f(x) = c$ diyelim.

Simdi $a \in \overline{X}$ olsun. $X$ icerisinde, $x_n \to a$ olacak sekilde bir $x_n$ dizisi vardir. $f$ surekli oldugu icin $f(x_n) \to f(a)$ yakinsakligi da gecerlidir. Ama her $x_n$ icin $f(x_n) = c$ olduguna gore, $f(x_n)$ sabit dizisinin limiti de $c$ olmali. Yani, $f(a) = c$. Demek ki, her $a \in \overline{X}$ icin $f(a) = c$, yani $f$ sabit fonksiyon.

Eger $f: \overline{X} \to \{0,1\}$ surekli ise, $f$'in sabit olmasi gerektigini gosterdik. Sav 2'den dolayi, $\overline{X}$ baglantilidir. $\square$

Sonuc: Baglantili bilesenler, maksimal baglantili kumelerdir. Yani, $A$ bir baglantili bilesen ve $B \supseteq A$ baglantili bir kume ise $A = B$'dir. Simdi, $X$ bir baglantili bilesen ise, yukarida $\overline{X}$'in de baglantili olmasi gerektigini soyledik. $\overline{X} \supseteq X$ oldugu icin, maksimallikten dolayi $X$ kapali olmak zorundadir.

Comments

Çoh iyi.        

---

Diziler, komsuluklarinin sayilabilir bir bazı olduğunda kullanilabilir. Onun yerine $\{0,1\}$ giden fonksiyonlarla ispat yapılabilir.

---

$\overline{X}$ nin bağlantısız olduğunu varsayalım. (Çözümde gösteridiği gibi)  $f:\overline{X}\to \{0,1\}$ sabit olmayan sürekli bir fonksiyonu vardır. $f^{-1}(0)$ ve $f^{-1}(1)$ boş omayan açık kümeler ve $X,\ \overline{X}$ de yoğun olduğundan her ikisinde de $X$ in elemanları vardır. $g=f\mid_X$ (kısıtlama) olsun). $g:X\to \{0,1\}$ sabit olmayan sürekli bir fonksiyondur. Çelişki

---

Tesekkurler Dogan hocam.

Answer 2

İşe bir topolojik uzayda bağlantısız küme ve bağlantılı küme tanımlarını vererek başlayalım.

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere

$$A,\,\ \tau\text{-bağlantısız (küme)}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\exists U,V\in \tau)(A\cap U\neq\emptyset)(A\cap V\neq\emptyset)((A\cap U)\cap(A\cap V)=\emptyset)((A\cap U)\cup(A\cap V)=A)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\exists U,V\in \tau)(A\cap U\neq\emptyset)(A\cap V\neq\emptyset)(A\cap (U\cap V)=\emptyset)(A\cap (U\cup V)=A)$$

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere

$$A,\,\ \tau\text{-bağlantılı (küme)}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$A,\,\ \tau\text{-bağlantısız (küme) değil}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall U,V\in \tau)(A\cap U=\emptyset \vee A\cap V=\emptyset \vee A\cap (U\cap V)\neq\emptyset \vee A\cap (U\cup V)\neq A)$$

Şimdi de gelelim sorunun cevabına:

İspat: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $A\subset X$ ve $A$, $\tau$-bağlantılı olsun.

$$A,\,\ \tau\text{-bağlantılı (küme)}$$

$$\Rightarrow$$

$$A,\,\ \tau\text{-bağlantısız (küme) değil}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall U,V\in \tau)(A\cap U=\emptyset \vee A\cap V=\emptyset \vee A\cap (U\cap V)\neq \emptyset \vee A\cap (U\cup V)\neq A)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall U,V\in \tau)(A\subseteq U^c \vee A\subseteq V^c \vee A\nsubseteq (U\cap V)^c \vee A\nsubseteq (U\cup V)^c)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall U,V\in \tau)(\overline{A}\subseteq \overline{U^c}=U^c \vee \overline{A}\subseteq \overline{V^c}=V^c \vee \overline{A}\nsubseteq \overline{(U\cap V)^c}=(U\cap V)^c\vee \overline {A}\nsubseteq \overline{(U\cup V)^c}=(U\cup V)^c)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall U,V\in \tau)(\overline{A}\cap U=\emptyset \vee \overline{A}\cap V=\emptyset \vee \overline{A}\cap (U\cap V)\neq\emptyset \vee \overline {A}\cap (U\cup V)\neq\overline{A})$$

$$\Rightarrow$$

$$\overline{A},\,\ \tau\text{-bağlantılı (küme)}.$$