Kapali bir alt kumesi icerisinde kapali olan bir kume tum uzayda da kapali midir?

Question

Kapali bir alt kumesi icerisinde kapali olan bir kumenin tum uzayda da kapali oldugunu gosteriniz.

Comments

Sorunuz "$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$(A\in\mathcal{K})(B\in\mathcal{K}_A)\Rightarrow B\in \mathcal{K}$$ önermesi doğru mudur?" sorusu ile aynı mı?

---

$\mathcal K$'lar kapali kumeleri iceren kumelerse evet.

---

Evet. $\mathcal{K}:=\{A\big{|}\backslash A\in \tau\}$

Answer 1

Cevap evet. Şöyle ki:

$$\left.\begin{array}{rr}A\in\mathcal{K}\Rightarrow \mathcal{K}_A\subset \mathcal{K} \\ \\B\in \mathcal{K}_A \end{array}\right\}\Rightarrow B\in \mathcal{K}.$$

Comments

Soruyu kabul ederek soru cozulmus olmuyor mu bu sekilde? Soru zaten $A \in \mathcal K \implies \mathcal K_A \subset \mathcal K$.

---

Sorunuz $$A\in \mathcal{K}\Rightarrow \mathcal{K}_A\subset \mathcal{K}$$ bu mu?

---

Soru ifadesi buna denk. ispatlamak icin her $A$-kapali kumenin $X$-kapali oldugunu gosterecez.

Answer 2

Indirgenmis topoloji kullanarak bi cevap yazayim. $A$ kumesi $X$ ust uzayinda kapali olsun. 

indirgenmis topolojinin tanimindan dolayi $C$ eger $A$ kumesinde kapali ise $C=D \cap A$ olacak sekilde $X$ uzayinda kapali bir $D$ kumesi vardir. Kapali kumelerin karaktere edilmesinden de iki kapali kumenin kesisimi kapalidir.

Kapali kumenin degisik (ama ozunde ayni olan) tanimlari da kullanililabilir. Limit noktalarinin icerisinde olmasi gerektigi kullanilabilir. Fakat soru indirgenmis topoloji sorusu gibi gozuktugunden bu ispat daha hos geldi bana. Zevkler ve renkler.