$\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye, doğrusal olmayan, türevli, birebir bir fonksiyon var mıdır ki $\mathbb{Q}$'yu $\mathbb{Q}$'ya, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$'yu $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$'ya götürsün?

Question

$\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye, doğrusal olmayan (yani grafiği bir doğru olmayan), her yerde türevli, birebir bir fonksiyon var mıdır ki rasyonel sayıları rasyonellere, irrasyonelleri de irrasyonellere götürsün

Bonus: Ne kadar çok türevlenebilirse o kadar iyi cevap sayılacak!

(Şu sorudan esinlenerek...)

Answer 1

$x\longmapsto x+1$

Comments

"...doğrusal olmayan (yani grafiği bir doğru olmayan)..."

---

Bu bir dogru.

---

$$f(x)=x+1$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu

$$f(x+y)=x+y+1\neq x+y+2=f(x)+f(y)$$

olduğundan lineer (doğrusal) değildir.

---

Orta öğretim düzeyindeki bir soruya "afin lineer olmayan" ifadesini koymak istemedim. Bu soruda doğrusal demek, grafiği bir doğru olmayan demek. Soruya buyrun :)

---

Geldik hocam :-)

---

$x<0$ icin $x\longmapsto x+1$, $x\geq 0$ icin $x\longmapsto 2x+1$.

---

Benim de aklıma gelen cevap bu ya da bunun türevleri.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x & , & x<0 \\ 2x & , & x\geq 0 \end{array}\right.$$

doğrusal değil, ama $0$'da türevli, birebir vs.

---

Soruyu buna göre düzelttim (sürekli yerine türevli). Teşekkür.

---

Benimki 1 noktacikta turevsiz. O kadar olur :)

---

O zaman soruyu şöyle de düzelteyim: Ne kadar az türevlenebilirse o kadar kötü cevap :)

---

soru sormak bazen daha zor, cevap yazmak bir dakika. 

---

Ben su anki soruya yanit olmayan yanitimi kaldirmayayim da buradaki konusmalar silinmesin.