Türev operatoru nasıl bir operatordür?

Question

Operator denince aklıma değer kümesinde fonksiyonlar olan fonksiyonlar geliyor. Türev operatorünün de D ile gösterildiğini zannediyorum. Ancak $f$, reel sayılardan reel sayılara giden bir fonksiyonken $\ f’ (x)$  ifadesinden de bir operator diye bahsedilmesini bir türlü anlamıyorum. $\ f’ (x)$ , $f$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki teğetinin eğimi. Yani elimde bir reel sayı var  Bir sayı nasıl olur da bir operator olur? Hem de utanmadan lineer!

Comments

Kim bahsediyor? Kaynak var mi? 

---

Baby Rudin sf. 212

Answer 1

$I,\ \mathbb{R}$ de bir (açık olursa işimiz birazcık daha kolay olur) aralık ve $\mathfrak{T}=\{f|\, f:I\to\mathbb{R},\ I \text{ nın her noktasında türevlenebilen fonksiyon}\}$ (aralık açık değil ise iç noktalarda türevlenebilme, uçlarda tek taraflı türevlenebilme koşulu isteriz) ve $\mathfrak{F}=\{f|\, f:I\to\mathbb{R},\ \text{ fonksiyon}\}$ olsun . Her ikisinin de ($\mathbb{R}$ üzerinde)(sonsuz boyutlu)  vektör uzayı (daha da fazlası $\mathbb{R}$ üzerine cebir) olduğu kolaydır. $D:\mathfrak{T}\to\mathfrak{F},\quad D(f)=f'$ (türev alma kurallarından) lineer bir dönüşümdür (hem de, çarpım kuralından, derivasyondur) , dolayısıyla (her ne kadar kendi içine gitmiyorsa da) operatör adını hakediyor.

Comments

Aslında $f'(a)=c$ ise $f'(a):\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f'(a)(x)=cx$ lineer operatörü olarak düşünülebilir. $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ şeklindeki "fonksiyonlar" için "türevi" böyle tanımlamak gerekiyor. (belki de soru buydu)

Yukarıdaki cevapta, aralık koşulu da biraz hafifletilebilir ama aralık demek daha kolay oluyor.

---

Evet, soru o. Neden böyle tanımlamak gerekiyor? Alışılmışın dışında bambaşka bir şeye dönüşüyor türev o zaman.

Answer 2

Burada operator olan $f'(x)$ değil. Bu elbette $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin x noktasındaki teğetinin eğimidir.

Türev operatorüne $D$ derseniz, örneğin $D(f)=f'$ yazabilirsiniz. Burada $D$, $f$ fonksiyonunu $f'$ fonksiyonuna gönderen bir fonksiyondur. Daha çok mapping denir ama galiba buna ingilizcede.

Lineer olması da şu demek:

$D(f+g)=D(f)+D(g)$

$D(af)=aD(f)$

özellikleri sağlanır. Burada $a$ dediğimiz fonksiyon uzayını oluşturan cismin sabit bir elemanı.

Answer 3

Orada (Rudin sayfa 212) kastedilen türev operatörü, benim cevabımdaki değil, soruya yorumumdaki anlamda.

$f:X\to Y$ iki Banach uzayı ( Rudin in o  kitabında $X=\mathbb{R}^n,\ Y=\mathbb{R}^m$) arasında bir fonksiyon ve $x_0\in X$ ve bir $T:X\to Y$ lineer  dönüşümü için:

$$\lim_{h\to0}\frac{\Vert f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)\Vert}{\Vert h\Vert}=0$$ ise $f'(x_0)=T$ olarak tanımlanır.

 Dolayısıyla her noktadaki türev bir lineer dönüşümdür. (S. Lang: Real and Functional Analysis sayfa 333 de bu şekli var.)