Tanım (Fonksiyonel türev): $F$ $\text{böl}(F)$ bölgeli bir fonksiyonelin, $A\in\text{böl}(F)$ yerleşkesinde türevlenebilir olması, $\epsilon$ bir sıfır fonksiyonu (=$x\rightarrow0$ ise $\epsilon(x)\rightarrow 0$) ve
$\forall h\in\text{böl}(F): \Vert h\Vert<\delta$ için $\vert\vert\vert F(A+h)-F(A)-\frac{\delta F}{\delta A}h\vert\vert\vert\leq \Vert h \Vert \epsilon(\Vert h\Vert)$
şartını sağlayan doğrusal sınırlı bir işlemcinin $\frac{\delta F}{\delta A}$ (=$F$'nin $A$ yerleşkesindeki fonksiyonel türevi, $\frac{\delta F}{\delta A}$ yerine örn. $L$ ile de gösterebilirdik) varlığı olarak tanımlanır.
Soru 1: Bunu kelimelerle ya da daha başka formülle anlatabilirmisiniz?
Not: $\frac{\delta}{\delta A(x)}F(A)$; $F(A)$ fonsiyonelinin, $A$ fonksiyonu $x$ noktasında değişirkenki değişimi olarak okunur.
Soru 2: $\frac{\delta}{\delta A(x)}F(A)$ fonksiyonel türevi biricik midir yoksa yukarıda yazılanları sağlayan birden fazla işlemci mi vardır?
Soru 3: Türevlenebilir bir fonksiyonel sürekli midir?
Ek alıştırma: Fonksiyonel türevi uygun $\mathfrak{U}\supset \text{böl}(F)$ uzaylarına uygulanılan başlı başına bir doğrusal sürekli işlemcidir. Yani $\frac{\delta}{\delta A(x)}F(A)$ $\mathfrak{U}^*$ eşlek uzayının bir elemanıdır ve $h\in\mathfrak{U}$ için etkisi (klasik mekanik, elektrodinamikte... $\int L y(x) dx$ türünden fonksiyonellere bu ad verilir) bir iç çarpım olarak yazılabilir: $\langle\frac{\delta}{\delta A}F(A) ,h\rangle=\int \frac{\delta}{\delta A(x)}F(A) h(x) dx$.
Ek ek ek soru: O etki ile bu etki arasında bir isim benzerliği dışında başka birşey var mı?
Ek soru: $x,y\in\mathbb{R}$ ve $S:A\mapsto S(A):=A(x)\in \mathbb{R}$ olsun. $\frac{\delta A(y)}{\delta A(z)}=?$
Tanım (yön türevseli): Ayrıca $\tau\in\mathbb{R}$ olsun. $F$ fonksiyonalinin yön türevseli $\partial F(A;h):=\displaystyle\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(A+\tau h)-F(A)}{\tau}$ (erey var olduğu takdirde) olarak tanımlanır.
Soru 4: Bunu kelimelerle ya da daha başka formülle anlatabilirmisiniz?
Not: $\partial F(A;h)$, $h$'ye doğrusal bağımlı olmak zorunda değil!
Tanım (yön türevi): Eğer $\partial F(A;h)$ $h$'ya göre bir doğrusal işlemci $\frac{\partial F}{\partial A}$ (yine yerine örn. $L$'de yazabiliriz) yardımıyla yazılabiliyorsa yani $\partial F(A;h)\overset{!}{=}\frac{\partial F}{\partial A} h\equiv\langle \frac{\partial F}{\partial A},h\rangle$, uygun bir bölgede tanımlı bu doğrusal işlemciye yön türevi denir.
Soru 5: Fonksiyonel türev ve yön türevi arasındaki (fonksiyonel türevlenebilirlik açısından, başka açılardan) bağlantı nedir?