İntegralimiz :
$$\int_0^\pi\:\sqrt[n]{\csc(x)}\:dx$$
$\frac{x}{2}=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.
$$2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\:\sqrt[n]{\csc(2u)}\:du$$
$\csc(2u)$ ifadesini yarım açı ile açalım.
$$2^{1-\frac{1}{n}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\:\sin^{-\frac{1}{n}}(u)\:\cos^{-\frac{1}{n}}(u)\:du$$
İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.
$$2^{-\frac{1}{n}}B\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\bigg)$$
$$2^{-\frac{1}{n}}\frac{\Gamma^2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\Big)}{\Gamma\Big(1-\frac{1}{n}\Big)}$$
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\pi\:\sqrt[n]{\csc(x)}\:dx=\frac{\Gamma^2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\Big)}{\sqrt[n]{2}\:\Gamma\Big(1-\frac{1}{n}\Big)}}}$$