$\int_0^\infty\:\frac{x^{n-1}}{x^m+s}\:dx$ integralini çözün

Question

$$\int_0^\infty\:\frac{x^{n-1}}{x^m+s}\:dx\\\:\\0<n<m\:\:\:,\:\:\:s\in\mathbb{R}^+$$

İntegralini çözün.

Comments

içimden bir ses gamma fonksiyonlarıyla çözüldüğünü söylüyor

---

Doğru söylüyor :)

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\:\frac{x^{n-1}}{x^m+s}\:dx$$

$\frac{1}{x^m+s}=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{m}\int_0^{\frac{1}{s}}\:u^{-\frac{n}{m}}\:(1-us)^{\frac{n}{m}-1}\:du$$

$us=\lambda$ olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.

$$\frac{s^{\frac{n}{m}-1}}{m}\int_0^{\frac{1}{s}}\:\lambda^{-\frac{n}{m}}\:(1-\lambda)^{\frac{n}{m}-1}\:d\lambda$$

İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{s^{\frac{n}{m}-1}}{m}B\bigg(1-\frac{n}{m},\frac{n}{m}\bigg)$$

$$\frac{s^{\frac{n}{m}-1}}{m}\:\Gamma\bigg(1-\frac{n}{m}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{n}{m}\bigg)$$

Euler'in yansıma formülünü kullanarak daha da sadeleştirebiliriz.Euler'in yansıma formülü için buraya bakılabilir.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\:\frac{x^{n-1}}{x^m+s}\:dx=\frac{s^{\frac{n}{m}-1}\,\pi}{m}\csc\bigg(\frac{n\pi}{m}\bigg)\\\:\\0<n<m\:\:\:,\:\:\:s\in\mathbb{R}^+}}$$