$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$ serisini hesaplayın

Question

$\beta(n)$ dirichlet beta fonksiyonu olmak üzere :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$$

Serisini hesaplayın.

Answer 1

Serimiz :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$$

Buradaki eşitlikte $k$ yerine $-1$ verelim.Eşitlik :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}=\frac{1}{2k}\Phi\Bigg(-1,1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}\Bigg)$$

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{(-1)^n}=-\frac{1}{2}\Phi(-1,1,1)$$

Lerch zeta fonksiyonunu bu özel hali için dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$-\frac{1}{2}\eta(1)$$

$\eta(1)=\ln2$ olduğunu biliyoruz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)=-\frac{\ln2}{2}}}$$