Class number ile UFD olma arasındaki ilişkinin felsefesi

Question

$K$ bir number field ve $O_K$ da onun ring of integers'ı olsun. $K$ nın ideal class grubunun mertebesi (yani class number) ile $O_K$ nın UFD olmaya ne kadar yakın olduğunun anlaşılması arasındaki ilişkinin sezgisi nasıl anlaşılabilir?

Comments

UFD ingilizce kisaltma oluyor galiba. Gerci cogu ingilizceymis terimlerin.

sayi cismi
tam sayilarinin halkasi
ideal sinif grubu
sinif sayisi

vs diye oneri de bulunacagim ama cok da guzel olmayabilirler.

Answer 1

Hep doğru olan bir ifade şu: PID $\Rightarrow$ UFD. İfadenin tersi her zaman doğru değil ne yazık ki. Örneğin $\mathbb{Z}[X]$ bir karşı örnek. Gel gelelim, bu iki ifadenin birbirine denk olduğu durumlar da söz konusu.

Sav 1: Bir Dedekind bölgesi (Dedekind domain), PID $\Leftrightarrow$ UFD.

Bunu nerede kullanacağız diye soracak olursak,

Sav 2: Bir sayı cisminin (number field), sayı halkası (ring of integers) bir Dedekind bölgesidir.

Şimdi bir $K$ sayı cisminin ideal sınıf grubunun (ideal class group) ne olduğunu hatırlayalım. Bu grup, tüm kesirli ideallerin (fractional ideal), tek elemanl tarafından üretilen kesirli ideallere (principal fractional ideal) bölümüydü. Diğer yandan biliyoruz ki,

Sav 3. İdeal sınıf grubu sonludur. 

Bu grubun eleman sayısı da sınıf sayısı (class number) olarak tanımlanır. Açık ki, bu grubun eleman sayısının $1$ olması demek, tüm kesirli ideallerin aslında tek bir eleman tarafından üretiliyor olması demek. Diğer yandan her ideal bir kesirli ideal olduğu için, tüm idealler tek bir elemen tarafından üretiliyor diyebiliriz. Bu da tam olarak sayı cismimizin PID olması demek. Sav 1 ve Sav 2'nin bir sonucu olarak bu durumda sayı halkamız bir UFD olur.

Benzer bir argümanla sayı halkasının UFD olması durumunda, sınıf sayısı $1$ olacaktır.