İntegralde değişken değiştirme

Question

Reel integraller ile uğraşırken gönül rahatlığıyla değişken değiştirebiliyoruz. Aynı rahatlığı karmaşık düzlemde integral alırken gösterebilir miyiz, yoksa dikkat etmemiz gereken ayrıntılar var mı?

Answer 1

ilk olarak $z_1$'den $z_2$ arasinda nasil integral alabiliriz: Bunu direk alamayacagimizdan $z_1$ ile $z_2$ arasinda bir egri almamiz gerekir. 
Egrimiz $C:a(t)+b(t)i$, $t_0 \leq t \leq t_1$ seklinde ifade edilsin.
integral icerisindeki fonksiyonumuzu $f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ seklinde yazalim.
$\Delta z=\Delta x+i \Delta y$ sekline yazalim. (Riemann toplamini dusunursek) o halde (integral uzerine nasil $C$ yazilir bilmiyorum, varmis gibi kabul edelim:)

$\int\limits_{z_1}^{z_2} f(z)dz=\int \limits_{t_0}^{t_1}(udx-vdy)+i\int \limits_{t_0}^{t_1}(udy+vdx)$ olarak $2$ adet reel integrale donustu. O halde reel uzerinde dogru integralinde kullanabilecegimiz yontemleri gonul rahatligiyla kullanabiliriz.

Comments

Bu yanıt pek doğru değil gibi. Karmaşık düzlemde değişken değiştirirken eğrini başka bir eğriye bükmen sırasında fonksiyonunun bir kutbundan geçmek zorundaysan sorun yaşayacağın açık. Bir kutuptan geçmesen de bir şeyler ispatlaman gerekli. Mesela $[0,\pi/4]$ üzerindeki bir integrali üstel değişken değiştirmeyle $y=x$ doğrusu üzerinden bir integrale çevirdik diyelim. Ve diyelim ki $(0,0),(0,1)$ ve $(1,1)$ noktalarının belirlediği üçgeni içeren bir açık kümede fonksiyonumuz $f$ holomorfik olsun. Cauchy abi bu durumda bu üçgen üzerinde $f$'nin integrali sıfır der. O halde reel eksen üzerindeki integralin $x=y$ üzerindeki integrale eşit olması için $y=1$ doğru parçası üzerindeki integralin sıfıra eşit olması gerekir.

---

pardon onu eklemeyi unutmusum..

---

ama $x,y$ duzleminde dogru integrali alirken aynisi oldugundan gerek yok herhalde, green's teorem vs, isimlerini unuttum ama zaten reelde de alamayiz delik uzerinden gecersek..

---

Delik olmasa da, dikme üzerindeki integralin sıfır olması gerekmiyor mu eşitliği elde etmek için?

---

dikme nedir? bu sorudan sonra sunu dusundum, compleks adina sadece lise kompleks matematigimi sabit tutarak compleks analizi nasil gecmisim, bu sorunun cevabini veremedim. Yukarida yazdigimin dogruluguna da inandim, cunku integraller compleksten bagimsiz. derinini cidden bilmiyorum ama ilerde ogrenirim diye umit ediyorum. ogrendikce de yazarim, site bizim sitemiz zaten.

bir soru altinda daha beni universite mezunu yapan sisteme sovmeyeyim simdi :)

---

dikmeden kastım verdiğim örnekteki üçgenin dik kısmıydı.

---

arada delik olmazsa fonksiyonun bolgede analatik olmasi lazim ki integral sifir olsun. ama ayni analatiklik kosulu green's teoremde de var.