a/(±1)⇒a=±1 olduğunu gösteriniz.
$a\mid 1$ olsun. Bu durumda $1=at$ olacak şekilde $t\in \Bbb{Z}$ vardır. Buradan $a=t=1$ veya $a=t=-1$. Benzer şekilde $a\mid -1$ içinde $a=1$ veya $a=-1$ elde edilir.
$a=t=1$ veya $a=t=-1$ olmali sonucuna nasil ulasiyoruz?
$a$ nın tamsayı olduğunu kabul ettim. Soru da belirtilmemiş ancak.
Tam sayi iken nasil elde ediyoruz? Sanki sorunun cikarimini cevapta kullaniyormusuz gibi geldi bana.
Tamsayılarda çarpımsal tersi olan elemanlar $1$ ve $-1$. Yani bunun ispatı nasıl yapılır mı? (Sorunuz)
Yani soru zaten bizden bunu ispatlamamizi istiyor. $1$'in bolenleri (yani carpimsal tersi olan elemanlar) $\pm1$ olmali. Bunu kullanmamamiz gerek bence, daha temelden almak gerekir. Daha temel ne demek bilmiyorum ama daha temel.
Böler kavramını anlatırken ben böyle çözüyorum. Ancak tamsayı inşasından yararlanarak tamsayılarda çarpımsal tersi olan elemanları belirlerken denklik sınıfları yardımıyla buluyoruz tabii.
Ne gerek var? $t$ tamsayı olduğundan $t=\frac 1a$ den $a$ tamsayı olmak zorundadır.Bu da $a=\mp1$ verir.
$\frac1a$ tamsayi olmasi icin $a$'nin $1$'i bolmesi gerekir. Eger $a\mid1$ ise $\cdots$ (kullanilan zaten ispatlamamiz gereken).
$a>0$ olsun. $1 \in \mathbb Z^{>0}$ minumum eleman ve $a$ bu kumenin elemani. Eger $a\mid1$'i boluyorsa $a \leq 1$ olmali. Yani $a=1$ olmali. Ayrica $u<0$ ise $|u|>0$.Burda kullanilanlar: $1$ pozitif sayilar icin minimal eleman ve pozitif sayilarda $a\mid b$ ise $a \leq b$ olmali. Bunlari kullanmaya hakkimiz var mi? Onemli olan bu.
$a\mid \pm1$ ve $\pm1 \mid a$ ise $a=\pm1$
"$a\mid b$ ve $b \mid a$ ise $a=\pm b$". Eger bu cumleyi ispatlamak istersek soruyu ispatlamamiz gerekir ilk once. Benim ispatimda iceriyor en azindan. Eger icermeyen bir ispat varsa gormek isterim.
$a \neq \pm1$ olsun.
$a\mid 1$ ise $1=a.k$ $(k\in \mathbb Z)$
$1=a.k$ ise $k=\dfrac{1}{a}$ $(a\neq 0)$
$a\neq \pm1$ ise $k\notin \mathbb Z$ olur.
$\frac 1a \in \mathbb Z$ olmasi icin $a \mid 1$ olmasi lazim, $a \mid 1$ ise $a= \pm1$. Yani ispatlanmasi istenilen kullaniliyor su an.
$a\mid 1$ olduğunu varsayıyorum.
$a\mid 1$ ise $\frac 1a$ zaten $\mathbb Z$'dedir. Neden $\pm1$ olsun ki?