Question

$2387$ sayisina bolunebilen ve basamaklar toplami $2387$ olan bir sayi var midir?

Comments

Rakamların hepsi 9 olsa bile, en az 266 basamaklı bir sayı bulmak gerekir. :)

Answer 1

$2387=7.11.31$ olduğundan bu sayı $7$'ye,$11$'e ve $31$'e tam bölünmelidir.

$abcd$ gibi dört basamaklı bir sayının $11$'e bölünme koşulu $a+c-(b+d)=0mod(11)\Rightarrow a+c=(b+d)mod11$ olması gerekir. Atlamalı basamakları toplamı $11$'e bölündüğünde aynı kalanı veren ve rakamları toplamı $2387$ olan bir sayı bulunabilir diye düşünüyorum.

Comments

7 ve 11'de sorun yok. Bölünme kuralları belli.

31 ile ilgili kuralı bulmaya çalışıyorum (tekrarlanan bölüm var mı diye).

---

31'e bölünmeyle ilgili her 15 basamakta bir tekrarlama buldum.

$10^0 \equiv 10^{15}\equiv 10^{30} \equiv 1 (\text { mod } 31)$

---

funky2000'nin dedigi gibi, en az 266 basamak olmasi gerekiyor ki daha fazla da olabilir. Bu da bu metodlari zorlastiriyor.

Answer 2

1) $10$ ile $2387$ aralarinda asal oldugundan dolayi, bir adet $k>0$ tam sayisi vardir ki $10^k \equiv 1 \mod 2387$ olur. (Bunu gosteriniz.)

2) $T=10^k+10^{2k}+\cdots+10^{2387k}$ sayisinin basamaklar toplami $2387$ ve $2387$'ye bolunebilir.

3) Gosteriniz: Aslinda bu sadece $2387$ sayisina ozel degil, her sayi icin boyle bir kosul saglanabilir, $10$ ile aralarinda asal olmasa da.

Answer 3

.................................................

Comments

 

480 basamakli bir sayi.. kosullari sagliyor, daha kucuk bir sayi da bulunabilir..

---

 

............................