$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b $ ve $\displaystyle\lim_{t\to b}g(t)=L $ iken (her zaman) $\displaystyle\lim_{x\to a}g(f(x))=L $ (yani $\displaystyle\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{t\to b}g(t) $ ) olmasını sağlayacak bir koşul bulun.

Question

http://matkafasi.com/22861/mathbb-displaystyle-displaystyle-displaystyle-displaystyle

sorusu ile ilgili. Yani:

($ a,b,L\in\mathbb{R} $ olmak üzere) 

1. $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b  $ ve 
2. $\displaystyle\lim_{t\to b}g(t)=L  $ 
3. ...............

iken (her zaman) $\displaystyle\lim_{x\to a}g(f(x))=L  $ (yani $\displaystyle\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{ t\to b}g(t)  $ ) olacak şekilde (olabildiğince basit) bir 3. madde bulun.

Answer 1

$\epsilon >0$ olsun. $\lim\limits_{y\to a}f(y)=b$ oldugundan bir adet $\delta_f>0$  bulabiliriz ki $$0<|y-a|<\delta_f$$ kosulunda $$|f(y)-b|<\epsilon$$ saglanir ve $\lim\limits_{x\to b}g(x)=L$ oldugundan bir adet $\delta_g>0$  bulabiliriz ki $$0<|x-b|<\delta_g$$ kosulunda $$|g(x)-L|<\epsilon$$ saglanir.

1) Simdi $g$ fonksiyonunun $x=b$ noktasinda surekli oldugunu kabul edelim. Bu durumda $g(b)=L$ esitligi saglanir. Yani eger $$|x-b|<\delta_g$$  kosulu saglnirsa  $$|g(x)-L|<\epsilon$$ saglanir. Bu durumda $$0<|y-a|<\delta_f$$ kosulunda ($x=f(y)$) $$|g(f(y))-L|<\epsilon$$ saglanir.

2) Eger $b$ noktasini iceren bir $I$ acik araliginda $x=b$ disindaki tum $x$ elemanlari icin $f(x) \ne a$ saglaniyorsa istenilen esitlik dogru olur.Ayni sekilde ispat edilebilir.

Ilgili sorudaki cevapta bu ikisi saglanmiyor. Zaten saglansa ters ornek olmazdi.

Comments

2. maddede a ile b'nin yerlerinin değişmesi gerekmiyor mu? Yani, cümlenin "Eğer a noktasını içeren bir I açık aralığında x=a dışındaki . . . " şeklinde olması gerekmez mi?

Answer 2

3. $f(a)=b$ 

koşulu da olabilir.

İspatı Sercan ın ispatı ile hemen hemen aynı.