Aslında burada sorulan sorudan çok daha genel bir teoremi kantlayabiliriz.
Teorem
$f:\left[ 1,\infty \right) \rightarrow \left( 0,\infty \right) $ sürekli
ve kesin azalan bir fonksiyon olsun.
$b_{n}=\sum_{k=1}^{n}f\left( k\right)-\int_{1}^{n}f\left( x\right) dx$
dizisi kesin azalan ve yakınsaktır. $C_{f}$ bu dizinin limiti ise $
a=\int_{1}^{2}\left( f\left( 1\right) -f\left( x\right) \right) dx$ olmak
üzere
$\ 0<a\leq C_{f}<f\left(1\right) $ dir.
Bu teoremin kanıtı ve çok daha fazlası Tom M. Apostol'un şu
makalesinde bulunabilir. "An Elementary View of Euler's Summation Formula,
The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 5 (May, 1999), pp.
409-418". Burada yazıldığı şekliyle teoremin kanıtı çok kısa olduğundan Türkçe bir kaynak olsun diye kanıtı aşağıda veriyorum.
Öncelikle $f$ kesin azalan olduğundan $1<x\leq 2$ için $f\left(
1\right) -f\left( x\right) >0$ dır. Ayrıca $f$ sürekli olduğundan $a>0$
elde edilir. Benzer şekilde $1\leq k\leq n$ ise
\[
\int_{k-1}^{k}\left( f\left( k-1\right) -f\left( x\right) \right) dx>0
\]
olur. Buradan
\[
f\left( k-1\right) >\int_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx
\]
elde edilir. $f\left( 1\right) =\int_{1}^{2}f\left( x\right)
dx+\int_{1}^{2}\left( f\left( 1\right) -f\left( x\right) \right)
dx=\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+a$ olduğunu dikkate alacak olursak
\[
f\left( 1\right) +f\left( 2\right) +\cdots +f\left( n-1\right) +f\left(
n\right) >
\]
\[
a+\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+\int_{2}^{3}f\left( x\right) dx+\cdots
+\int_{n-1}^{n}f\left( x\right) dx+f\left( n\right) =
\]
\[
a+\int_{1}^{n}f\left( x\right) dx+f\left( n\right)
\]
olduğundan
\[
b_{n}>a+f\left( n\right) >a
\]
dır. Ayrıca
\[
b_{n}-b_{n+1}>-f\left( n+1\right) +\int_{n}^{n+1}f\left( n+1\right) dx=0
\]
olduğundan $\left( b_{n}\right) $ azalandır.
O halde $\left( b_{n}\right) $ yakınsak ve $a\leq C_{f}=\lim_{n\rightarrow
\infty }b_{n}$ dir.
\[
f\left( k\right) <\int_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx
\]
olduğundan
\[
f\left( 2\right) +f\left( 3\right) +\cdots +f\left( n\right) <
\]
\[
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+\int_{2}^{3}f\left( x\right) dx+\cdots
+\int_{n-1}^{n}f\left( x\right) dx+f\left( n\right) =\int_{1}^{n}f\left(
x\right) dx
\]
olduğundan
\[
b_{n}<f\left( 1\right)
\]
dir.