Lütfen, sorudaki şekli bir kağıda çizelim ve yapacağım çözümü de şekil üzerine renkli kalemle yazalım. O zaman çözümü daha iyi ve kolay anlamamız mümkün olacaktır.
Ama öncelikle düzgün altgenle ilgili biraz bilgi verelim. Bir kenar uzunluğu $a$ olan düzgün her altıgende;
1) $6$ sı kısa $3$'ü uzun olmak üzere $9$ tane köşeğeni vardır. Kısa olanların boyu $a\sqrt3$,uzun olanların boyu ise $2a$. Kısa olan köşegenlerin hiçbir merkezden geçmezken,uzun olan üç köşegende; altıgenin merkezinden geçer,simetri eksenidirler ve iç açıortaydırlar.
2.) Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir? Yani şekilde $AB//FC//DE,BC//EF//AD,CD//FA//BE$ dır.
3.)Her bir iç açısı $120$ derece, her bir dış açısı $60$derecedir.
4.)Çevresi $6a$, alanı $6.\frac{a^2\sqrt3}{4}$ dir.
5.) Bir iç teğet çemberi ve bir çevrel çemberi vardır. İçteğet çemberin yarı çapı $r$ ise $r=\frac{a\sqrt3}{2}$, çevrel çemberinin yarı çapı $R$ ise $R=a$ ve $R=\frac{2r}{\sqrt3}$dır.
Şimdi sorunun çözümüne geçelim.Soruda verilenlerden $|BC|=6$, $FC|=12$ olacaktır. $[CB$' nin uzantısı ile $[EK$ ' nın uzantısı $T$ noktasında kesişsin.$|TB|=y$ diyelim. $$AB//FC$ olduğundan $TBK$ üçgeni ile $TCL$ üçgeni benzerdir(A,A,A). Dolayısyla;
$\frac{y}{y+6}=\frac{3}{x}...............(1)$ olur.
$BC//EF$ olduğundan $FLE$ üçgeni ile $CLT$ üçgeni benzerdir(A,A,A). Buradan, $\frac{6}{y+6}=\frac{12-x}{x}.............(2)$ bulunur. $(1)$ ve $ (2)$'yi kullanarak $x$'i bulalım.
$ \Rightarrow 2x^2-15x=0$ dan $x=0,x=\frac{15}{2}$ olur.