Uniter bir matris tersinirdir.

Question

$(V,<\cdot,\cdot>)$ dejenere olmayan sonlu boyutlu bir iccarpim uzayi olsun. Eger $A:V\longrightarrow V$ lineer fonksiyonu her $v,w\in V$ icin $$<Av,Aw>=<v,w>$$sartini sagliyorsa $A$'nin izormofizma olmak zorunda oldugunu gosteriniz. Boyut uzerindeki kisiti kaldirirsak soruyu nasil sormak gerekir?

Comments

Dejenere olmayan derken $V\neq \emptyset$ olmasını mı kastediyorsunuz?

---

Dejenere derken gereksiz bir laf etmisim. Aklim bi-lineer formlara gitti. Ic carpim otomatik olarak dejenere olmaz, yani her seyle ic carpimi sifir yapan bir sey otomatik olarak sifir olmak zorunda ic carpimin tanimi geregi.

Answer 1

$Av=0$ olsun. Bu durumda $<v,v>=<Av,Av>=0$ ve $v=0$ yani; $A$ bire-bir dönüşümdür. $V$ sonlu boyutlu olduğundan $dim V=dim(KerA)+dim(ImA)$ ve $dim(KerA)=0$ olduğundan $dim V=dim(ImA)$ olur. Bu ise $A$ dönüşümünün örten olduğunu gösterir. Böylece $A$ bir izomorfizma olur.

Comments

$V$ sonsuz boyutlu alındığında ifadenin doğru olmayacağını düşünüyorum. Bu durumda soru nasıl sorulur fikrim yok.

---

Sonsuz boyutlu bir $V$ vektör uzayı alalım ve $e_1,e_2,\cdots$ da bu vektör uzayının bir bazı olsun. $A$ operatörü baz üzerinde $e_i\longmapsto a_{i+1}$ biçiminde davranan bir endomorfizması olsun $V$'nin. Bu durumda aldığımız baza göre standart biçimde tanımlanan iççarpıma göre $A$ operatörü üniterdir ama belli ki örten değil.