Question

riemann integrali, $\lim \frac {1} {n}\displaystyle\sum _{k=1}^{n}f\textstyle\left( \frac {k} {n}\right) =\displaystyle\int _{0}^{1}f\left( x\right) dx$ ispatı

Comments

$f$ nin integrallenebilir olduğunu varsaymak gerekir.

Answer 1

Burada sorun şu: sol tarafta $f$ nin sadece rasyonel sayılardaki değerleri var. Yani fonksiyonun irrasyonel sayılardaki değeri hiç göz önüne almıyor. Halbuki, irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan daha çok yer kaplıyor (Lebesgue ölçümü çok daha büyük). Fonksiyon integrallenebiliyorsa eşitlik var ispatı çok kısa değil. Fonksiyon integrallenemiyorsa, soldaki limit var olabiliyor. Örnek:

$f(x)=\begin{cases}0\quad x\in\mathbb{Q}\text{ ise}\\1\quad x\notin\mathbb{Q}\text{ ise}\end{cases}$ fonksiyonu için $\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)=0$ olur ama bu fonksiyon (hiç bir aralıkta) integrallenemez.

Comments

teşekkürler. peki, irrasyoneller için bu tarz eşitlikler var mı?

---

Aslında (soldaki toplamda ufak bir değişklik yapıldığında) her aralıkta anlamlı  bir soru ve cevap her aralıkta aynı. Yorumda belirttiğim gibi: $f$ bu aralıkta integrallenebiliyorsa, formül geçerli. Aksi halde sağ taraf anlamsız ama soldaki limit VAR OLABİLİR.