Question

$\int\sin x \  e^{2x}\,dx$ integralinin çözümü nasıl bulunur? Teşekkür ederim

Comments

Üstüste iki tane parça integral yöntemi (integration by parts) uygulanırsa, udv yöntemi, gelir. Tabletten yazdıgım çok detaylı yazamıyorum ama kolay.

---

Birisi bana yorumumun neden gizlendiğini söyleyebilirmi? ne söylemiş olabilirimki hoşunuza gitmedi :)

Answer 1

$\int \sin (ax) \ e^{bx} \ dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(b\sin(ax)-a\cos(ax))+c$ kullanılarak $\frac{e^{2x}}{2^2+1}(2\sin x-\cos x)+c$ dir

Answer 2

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx$ için Kısmi integrasyon kullanalım. $u=\sin x,\ dv=e^{2x}\,dx$ olsun.  $du=\cos x\,dx,\ v=\frac12e^{2x}$ olur.

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\sin x-\frac12\int \cos x e^{2x}\, dx$ olur. Benzer şekilde  

($u=\cos x,\ dv=e^{2x}\,dx$ alarak)

$\int \cos x e^{2x}\, dx=\frac12\cos x e^{2x}-\frac12\int\sin xe^{2x}\,dx$ olur. Bu eşitlik, yukarıda yazılırsa:

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\sin x-\frac12(\frac12\cos x e^{2x}-\frac12\int\sin xe^{2x}\,dx)$ elde edilir.

$\frac54\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\sin x-\frac14\cos x e^{2x}$ den

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac45(\frac12\sin xe^{2x}-\frac14\cos x e^{2x})$ bulunur.

Soru: Her belirsiz integralde olması gereken $+C$ niye yok?

(aslında her iki defasında da $u=e^{2x}$ seçilirse yine yapılabilir, ayrıca $\frac12$ lerle uğraşmak gerekmez)