Sonsuzlukla ilgili eşitsizlik problemi

Question

 a = a eşitliğinin iki tarafınada bir aynı sayı eklenirse eşitlik bozulmaz.

a + x = x + a şeklinde.

Sonsuzluğunda sınırı olamdığı biliniyor. O zaman sonsuza ne eklersem sonsuz yine sınırsızdır. 

∞ + a = ∞ + b   ......( a eşit değil b' ye )

öyleyse iki taraftan da ∞' u silelim. 

a = b oldu.

ama a eşit değildi b' ye. Nasıl oldu ?

Comments

Sonsuz bir sayı değildir. Eşitliğin her iki tarafına nasıl sonsuz ekleniyor? 

---

Her iki tarafa sonsuz eklemek nereden çıktı?

Sonsuzluğun belirlenebilmesi için limit almak gerekir.

Böyle işlemlerle kafanızı bulandırmayın derim.

---

$\infty-\infty=0$ mı?

Answer 1

Söylenen argümanda sonsuzun sayı olmamasının ötesinde başka bir problem daha var.

Bildiğimiz gerçel sayılarda a+x=b+x ise a=b olduğunu neye dayanarak söylüyoruz? Eşitliğin her iki tarafından x büyüklüğünü "çıkartıyoruz". Daha doğrusu eşitliğin her iki tarafına x'in "tersini ekliyoruz". Yani eşitliğin her iki tarafından x'i silmek x büyüklüğünün + işlemine göre tersi olmasını (ve işlemin birleşme özelliği olmasını) gerektirir. Peki ya böyle bir ters yoksa?

Argümanın neden hatalı olduğunu görmek için sonsuzun sayı olduğu (daha doğrusu "sonsuz sayıların" olduğu) kardinal sayılar ile çalışalım. Kardinal sayılar kümelerin büyüklüğünü ölçmek için kullanılan özel tür kümelerdir ve bu kümelerde aritmetik işlemler kısmi olarak tanımlıdır. Kısmiden kastım şu: toplama, çarpma ve üs alma tanımlı.

Mesela ilk sayılamaz sonsuz kardinal olan $\aleph_1$ ile $2$ sayısını (kardinal aritmetiğine göre) toplayalım: $\aleph_1+2=\aleph_1$.

Şimdi de ilk sayılabilir sonsuz kardinal $\aleph_0$ ile $\aleph_1$'i toplayalım: $\aleph_1+\aleph_0=\aleph_1$.

Peki eşitliklerin her iki tarafından $\aleph_1$ çıkartıp $\aleph_0=2$ olduğunu neden söyleyemiyoruz? Çünkü eşitliğin her iki tarafından aynı sayıyı "çıkartma" hakkımız yok. Çünkü bu sayıların + işlemine göre tersi tanımlı değil.

Kısaca argümanınızdaki sorun + diye tanımladığınız işlemin ters eleman kabul etmemesinden kaynaklanıyor. Hatta ilk cümledeki "eşitliğin iki tarafına aynı sayıyı eklersek bozulmaz" kısmı bile aslında tehlikeli. Doğrusu şöyle olacak: Eşitliğin iki tarafına aynı tarafdan aynı sayıyı eklersek eşitlik bozulmaz. Zira + işlemi değişmeli olmayabilir! Mesela $\omega=\aleph_0$ sayısını $2$ ile (ordinal aritmetiğine göre) iki farklı şekilde toplarsanız şunu elde edersiniz: $\omega+2 \neq 2+\omega$. Çünkü $\omega < \omega+2$'dir ancak $2+\omega=\omega$'dır.

Not: Eğer kardinal sayıları kullanmak yerine genişletilmiş gerçel sayılarda (extended real numbers) sonsuz ile toplama işlemi yapmak isterseniz (ki böyle yapıldığını çeşitli gerçel analiz kitaplarına görebilirsiniz integral geliştirilirken) göreceksiniz ki sonsuz ile çıkarma işlemi çoğu zaman tanımlanmaz.

Comments

Şunu da ilave etmek isterim. Birtakım varsayımlar ile genişletilmiş gerçel sayılarda tanımlanan toplama işlemi gerçel sayıların grup yapısını bozuyor.

Answer 2

∞ + a =∞  ve  ∞ + b = ∞ olduğu için iki taraftan ∞ silmeniz demek iki taraftan ∞ + a veya iki taraftan ∞ + b silmenize denktir. Bu yüzden (çok doğru bir işlem olmamasına rağmen) iki taraftan ∞ çıkardığınız zaman a = b değil, 0 = 0 gibi bir sonuçla karşılaşacaksınız, ki bu eşitlik bariz bir şekilde geçerli. Ama unutmayın ki ∞ bir sayı değil, bir kavramdır ve ∞ eklemek/çıkarmak gibi işlemlerden uzak durmanızı öneririm.