Matris çarpımının tanımı "doğal" bir tanım mı?

Question

iki matrisin çarpımının tanımı ne kadar doğal bir tanım? Aksi halde bizi o tanımı yapmaya zorlayan nedir?

Edit: "Matematiksel" olarak nasıl kanıtlayabiliriz / gösterebiliriz ?

 

Answer 1

Eger $V$ ve $W$ bir $k$ cismi uzerinde $n$ ve $m$ boyutlu vektor uzaylari olsun ve $f: V \to W$ bir dogrusal fonksiyon olsun. $\{v_i\}_{i = 1}^n$ ve $\{w_i\}_{i = 1}^m$, $V$ ve $W$ icin birer taban olsun.

Her $1 \leq i \leq n$ icin $f(v_i) = \Sigma_{i = 1}^m a_{ji} w_j$ olacak sekilde $a_{ji} \in k$ belirlenir. Boylece $f$'i $A = (a_{ij})$ matrisi seklinde ifade edebiliriz.

Simdi $U$ sonlu boyutlu bir $k$-vektor uzayi ve $g: W \to U$ bir baska dogrusal fonksiyon ise $U$ icin bir taban secerek $g$'yi de bir matris olarak ifade edebiliriz, bu matrise $B = (b_{ij})$ diyelim. 

B ve A'nin carpimi, $C = AB$, tam olarak $g \circ f$'in $V$ ve $U$ icin sectigimiz tabanlara gore ifadesidir.

Answer 2

Elimizde $n$ tane fonksiyon olsun, $f_1(x_1,\cdots, x_m),\cdots,f_n(x_1,\cdots, x_m)$. Simdi bir de $u_1=(y_1,\cdots, y_m),\cdots,u_t=(y_1,\cdots, y_m)$ diye istedigin kadar nokta olsun. Bunlar icin bir matris olustur. $a_{ij}=f_i(u_j)$. Bu olsuturdugumuz fonksiyonlarin deger kumesi ve fonksiyonlar lineerken fonksiyonlarin katsayilarini ilk matrise, noktalari ikinci matrise koyunca, olusturdugumuz matris cok guzel tanimli oluyor ve bu tanima matris carpimi diyebiliyoruz.

Simdi matrislerde ilkinin satiriyla ikincinin suturunu carpiyoruz, sebebi fonksiyon katsayilarini ilk matristeki satira, elemanlarin cordinatlarini da ikinci matristeki sutuna yazdigimizdan boyle bir carpim. satir,satir olsaydi carpimimizda buna gore olacakti. Belki bu da hangisinin fonksiyon katsayisi, hangisinin nokta oldugunu ayristirmak icindir.

Kaynak: kendi dusuncem. Asli bambaska olabilir.

Comments

bilineer formlar da     matris carpiminin doğal halde var oluşu ve determinantin varlığı bir çok özelliği ile beliriyor  Sercan hocam oldukça yaklaşmış :-)

Answer 3

Matris kavramı herhangi bir zorlama olmadan doğal olarak tanımlanır. Şöyle ki aralarında herhangi bir ilişki (bağıntı, sırlama, vb.) zorunluluğu olmayan sayıların bir tabloda gösterimidir bir matris. Bu tablolar arasında tanımlanan cebirsel işlemlerde yine R deki adi işlemler yadımı ile yapılabilmektedir. Matris çarpımının doğallığını ekonomiden örneklerle daha iyi anlaşılabilir. Örneğin bir mağazanın satın almış olduğu n çeşit pantolonun fiyatları bir matris ve alım miktarları da farklı bir matris alınırsa ödenen toplam meblağ bu iki matrisin çarpımıdır. Hatta bunlara birer vektör olarak da bakılabilir 

Answer 4

Matrisler ve ona bağlı kavramlar, lineer denklem sistemlerinin incelenmesinden neş'et etmişlerdir. Bu sebeple, belli bilinmeyen takımı ($\{x_i\}_{i=1}^N$) için oluşturulan lineer bir denklem sisteminde, bilinmeyenlerin her denklem için farklı katsayıları ($\{a_i\}_{i=1}^N$) olacaktır. Sonuç olarak çarpım öyle tanımlanmalıdır ki, katsayılar matrisi ve bilinmeyenler matrisinin (ki bir sütun vektördür) "çarpımı" matrisleri oluşturduğumuz lineer denklem sistemini doğursun, yâni problemle tutarlı olsun.

Bu bağlamda "matrislerin çarpımı oldukça doğal tanımlanmıştır" diyebiliriz.