Ilk soru icin:
Bu soruyu cozmenin herhalde en kisa yolu, murad.ozkoc'un yanitinda oldugu gibi 3 durumu inceleyip, cikan denklemi cozmektir. Ama ben bunun yerine isi gereksiz yere uzatip, baska seylerden bahsedecegim.
$|x-3|$ niceligi $x$'in $3$'e olan uzakligini gosteriyor, degil mi?
$|x + 5|$ niceligi de $x$'in $-5$'e olan uzakligini gosteriyor.
Demek ki aradigimiz $x$ tamsayilari su ozelligi saglamali:
"$x$ tamsayisinin $3$'e olan uzakligi ile $-5$'e olan uzakliginin toplami $8$'dir".
Bir sayi dogrusu ciz. Ve $-5$ ile $3$'u yerlestir. Eger $-5$'in solunda kalan bir $y$ sayisi alirsan, $-5$ ile $3$ arasindaki mesafe $8$ oldugu icin, $y$ ile $3$ arasindaki mesafe $8$'den buyuk olmali. Demek ki $y$ tamsayisi istedigimiz ozelligi saglamiyor. Yani, $-5$'ten kucuk tamsayilar bu ozelligi saglamiyor. Ayni oyunu, $y$ sayisini $3$'ten buyuk alarak yap simdi. Yine basarisiz oldugunu goreceksin.
Demek ki, geriye tek bir secenek kaliyor. Eger bir $x$ tamsayisi bu ozelligi sagliyorsa $x \in [-5, 3]$ olmali. (Burada dikkat edilmesi gereken bir sey var. Henuz sunu gostermedik: eger $-5$ ile $3$ arasinda bir tamsayi alirsak, aldigimiz tamsayi bu denklemi saglar. Sadece sunu gosterdik: eger bir tam sayi bu denklemi sagliyorsa o zaman $-5$ ile $3$ kapali araliginin disinda yer alamaz, yani icinde yer almalidir.)
Simdi de gercekten $[-5, 3]$ araligindaki her tamsayinin bu denklemi sagladigini gosterelim. Bir $x \in [-5, 3]$ alalim. $x$, $-5$'ten buyuk oldugu icin, aralarindaki uzaklik $x - (-5 )= x + 5$'tir. $x$, $3$'ten kucuk oldugu icin aralarindaki uzaklik $3 - x$'tir. Uzakliklar toplami da: $x + 5 + 3- x = 8$'dir. O halde, $x$ istedigimiz denklemi saglar. Yani, $[-5, 3]$ araligindaki her tamsayi bu denklemin bir cozumudur.
Bu soruyla alakali olarak soyle bir deney yapabilirsin: Bir ip bul. (Ben, bunu en son yaptigimda ayakkabimin bagcigini kullanmistim). Masanin uzerinde, tahtanin uzerinde ya da sokakta, kalem ya da tebesir kullanarak iki tane nokta isaretle. Bu noktalarin arasindaki uzaklik ipin boyundan kucuk olsun. Ipin uclarini bu noktalara sabitle (Mesela iki kisi ipin uclarini parmaklariyla tutabilirler). Simdi kaleminle, ya da tebesirinle, ipi ortasindan cekerek ger. Ipin boyu yeterince uzun oldugu icin, ilk basta ip gergin degildi ama cektikce gerginlesecek. Ipi surekli gergin bir sekilde tutarak kaleminin gidebildigi yerlere bak. Kalemin, gidebildigi her yerde bir iz birakacak. Yani bir sekil ciziyor olacaksin. Bu sekil neye benziyor? Elipse!
Hakikaten de, sayilarini genisletip kompleks sayilara cikarsan $a,b \in \mathbb{C}$ ve $c > | a - b| \in \mathbb{R}$ olmak uzere $| z -a | + |z - b| = c$ denkleminin geometrik yeri bir elips olacaktir. Bir elipsle, bir dogru kac noktada kesisirler? Bir dogru, elipsi ya teget gecer; ya iki noktada keser ya da hic kesmez. Simdi bizim ozel durumumuza donelim. Bizim durumumuzda $a , b$ tam sayi. Yani bu kompleks sayilarin sanal kisimlari sifir ve reel kisimlari tamsayi. Bu durumda olusan elipsin, bir kismi reel eksenin altinda, bir kismi reel eksenin ustunde olmali. Yani, elipsimiz reel ekseni iki noktada kesmeli. Bu da su demek: $$|x - a| + |x - b| = c \quad , \quad c >|a - b|$$ denkleminin reel sayilarda iki tane cozumu var. Bunlarin tamsayi olup olmamasi durumu degisebilir.
Simdi, deneye geri donelim. Bu sefer, aldigimiz iki nokta arasindaki uzakligin tam olarak ipin boyuna esit oldugunu varsayalim. Bunu yapmak icin iki yol var: Ya ipin boyunu kisalt, ya da noktalar arasindaki uzakligi arttir. Bu durumda ip baslangicta gergin olacaktir. Yani kalemle yukaridaki gibi bir cizgi cekmeye kalkarsan, bir dogru parcasi cizeceksin sadece ve bu dogru parcasinin uclari baslangic noktalarin olacak. Elipse cikamayacaksin. Ilk durumda, eger ipin boyunu kisaltarak bu duruma geldiysek sunu dusunebilirsin: elimizde gittikce kuculen elipsler var ve en sonunda kucule kucule dogru parcasi oluyorlar. Ikinci durumda, yani eger noktalar arasindaki uzakligi arttirarak bu duruma geldiysek sunu dusunebilirsin: elimizde bir elips ve bu elipsin iki tane odak noktasini gittikce uzaklastiriyorum birbirinden ve en sonunda elipsim darala darala bir dogru parcasi oluyor.
Sonucta, suna geliyoruz. $|z -a| + |z-b| = c = |a-b|$ denklemi kompleks duzlemde bir dogru parcasi belirtir. Bizim sayilarimiz reel ve tamsayi olduklari icin bu dogru parcasi reel eksende yer alacaktir. Son olarak sunu soyluyoruz: $$|x - a| + |x-b| = c \quad, \quad c = |a-b|$$ denkleminin reel sayilardaki cozum kumesi $[a,b]$ kapali araligidir. ($a$'nin $b$'den kucuk oldugunu varsaydim.) Yani, senin sorunun cevabi $[-5, 3]$ araligindaki tamsayilarin sayisi.