Daha genel olarak:
Sav: $R$ bir halka olsun. $M_n(R)$ halkasinin iki tarafli ideali $R$ halkasinin iki tarafli ideali $I$ ile biricik sekilde $M_n(I)$ olarak yazilabilir.
Ispat: $I$ ideali $R$ halkasinin iki tarafli ideali oldugundan $M_n(I)$ kumesi $M_n(R)$ kumesinin iki tarafli ideali olur.
Diger taraftan $J$ ideali $M_n(R)$ halkasinin iki tarafli bir ideali olsun. $I$ kumesi $J$ halkasindaki matrislerin ilk girdilerini iceren kume olsun. Bu dogal olarak iki tarafli bir ideal.
$E_{i,j}$ sadece $(i,j)$ girdisi $1$ olan ve digerleri sifir olan matris olsun. Bu durumda tum $A=(a_{i,j}) \in M_n(R)$ icin $$E_{i,j}AE_{k,l}=a_{j,k}E_{i,l}.$$ Yani eger $A \in J$ ise $$a_{i,j}E_{1,1}=E_{1,i}AE_{j,1}$$ esitliginden $a_{i,j} \in I$ olur. Bu da $J \subset M_n(I)$ oldugunu soyler.
$r \in I$ olsun. Taniminda dolayi bir adet $A=(a_{i,j}) \in J$ matrisi icin $r=a_{1,1}$. $$rE_{i,j}=E_{i,1}AE_{1,j} \in J$$ oldugundan $B=(b_{i,j}) \in M_n(I)$ matrisini $$\sum\limits_{i,j=1}^nb_{i,j}E_{i,j} \in J$$ olarak yazabiliriz.
Cikarimlar:
1) $R$ basit ise $M_n(R)$ de basittir.
2) $R$ bolum halkasi ise $M_n(R)$ basittir.
3) $R$ cisim ise $M_n(R)$ basittir.
4) $R=\mathbb R$ ve $n=2$ icin $M_2(\mathbb R)$ basittir.