Kesisim noktasi katsayisi (intersection multiplicity)

Question

$C$ izdusum duzleminde bir egri (projective plane curve)
$P$ noktasi $C$ uzerinde duzgun (smooth)

1) $L$ dogrusu $C$ egrisine $P$ noktasinda teget ancak ve ancak $I_P(C \cap L) \geq 2$.
2) $P$'nin $C$ uzerindeki katsayisi (multiplicity) 2 ve $L$'nin $P$'ye teget katsayisi 2 ise, $I_P(C \cap L) \geq 3$.

$I_P(C \cap L)$: $P$ noktasinin $(C \cap L)$'deki katsayisi.

Answer 1

Dogal transformasyonlari kullanarak, $P=(0,0)$ ve $L:\:x-y=0$ olarak alabiliriz. (eger $P$ egrinin uzerinde ve $L$ de $P$ noktasinda egriye tegetse)

Simdi

$C(x,y)=F_0(x,y)+F_1(x,y)+F_2(x,y)+\cdots$ olarak yazalim, $F_i$ derecese $i$ olan homojen polinom.
Eger $P$ egrinin uzerinde degil ise $F_0(x,y) \neq 0$ 0lmak durumunda ve eger $F_1(x,y) \neq L$ deilse $L$ teget olmaz. $P$ egrinin uzerinde ve $L$ bu egriye $P$ noktasinda tegetse $F_0=F_1=0$ olacagindan ($x-y=0$'dan) elde edecegimiz en kucuk katsayi $x^2$ olabilir. Bu ilkini ispatlar.

ikinci durum icin: $P$ uzerinde oldugu icin $F_0=0$ ve eger $F_1 \neq 0$ ise $L$'nin derecesi $1$ olur. O zaman $F_2 \neq 0$ ise $F_2=L^2$ olmak zorunda.. Burdan da ($x-y=0$'dan) elde edecegimiz en kucun katsayi $x^3$ olur.

Comments

Bence bu geometrik bir ispat. Yani neden boyle oldugunu elle tutulabilir bir sekilde gosteriyor.