Bunlar ödev soruları mı? Siz neler denediniz bizle paylaşın, biz de yardım edebiliriz. Ayrıca soruda neden "fonksiyonel analiz" etiketi vardı bilemiyorum ama madem öyle soruyu da bu alanda sık kullanılan Baire kategori teoremi ile çözelim!
Her $x \in \mathbb{R}$ için $\mathbb{R}-\{x\}$ kümesi açık ve yoğun bir kümedir. $\mathbb{R}$ tam bir metrik uzay olduğuna Baire kategori teoremi gereği sayılabilir açık yoğun kümenin kesişimi yoğundur.
Eğer $\mathbb{R}$ sayılabilir bir küme olsaydı $\bigcap_{x \in \mathbb{R}} \mathbb{R}-\{x\}$ kümesinin $\mathbb{R}$ içerisinde yoğun olması gerekirdi ancak bu küme boştur.
(Sitede bir yerlerde gerçel sayıların sayılamazlığının "standart" kanıtının da olduğuna eminim.)
Rasyonel sayıların sayılabilirliği içinse rasyonel sayılardan $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ kümesine birebir bir fonksiyon inşa etmeyi deneyin.