Parantezleme sayısı

Question

$n$-tane sayıyı, sayıların yerlerini değiştirmeden parantezlerin yerlerini değiştirerek kaç farklı şekilde çarpabiliriz?

Örneğin a,b,c sayıları

a(bc), (ab)c yani iki farklı şekilde çarpılabilir. 

a,b,c,d sayıları

a(b(cd)), a((bc)d), (ab)(cd), (a(bc))d, ((ab)c)d yani 5 farklı şekilde çarpılabilir.

Herhangi $n$-tane sayı için genel formülü nasıl elde edebiliriz? 

Comments

Parantez ler söyle olsa hocam (a)(b)(c)(d) gibi bir durum ve (abcd) bu durumlar olmayacak mi veya (a)bcd,(ab)cd parantez sayılarını dkkate alacak mıyız

---

bence almayacaz. ben bi cozum buldum da, anlatmasi mesakkatli. 

---

<p> O zaman ben parantezi neye göre alacağm onu anlamadm bir parantezle de çarpılır 2 parantezlede3 parantezlede sayı basamağı arttkça hesaplaman gereken parantezler çoğalıyor durum artıyor ?
</p>

---

elemanlari tek tek carpiyormusun gibi dusun. 

a(bc): b ile c'yi carp, sonra bc'yi a ile carp

(ab)c: a ile b'yi carp sonra ab'yi c ile carp

parantezler carpim sirasini veriyor gibi dusun.

---

Catalan sayıları deniyor bunlara.

---

Sercan'ın da dediği gibi, parantezler çarpmanın öncelik sırasını veriyor. Örneğin 3 tane sayıyı çarpmak için önce bunlardan ikisini çarpmalısınız, sonra çıkan sonuç ile diğer sayıyı çarpmalısınız. Bu nedenle parantezleme

ya a(bc) ya da (ab)c olur.

---

Benim bildiğim çözüm de uzun, önce rekürsif bağıntıyı elde edip oradan kapalı formüle geçiliyor filan. Acaba alternatif bir çözüm çıkar mı diye sordum. Kerem'in de dediği gibi Catalan sayıları deniliyor bu sayılara.

---

değişme ve birleşme özelliği yoksa n tane sayının çarpımı ile kaç farklı sonuç elde edilir şeklinde sorulsa idi daha düzgün olurdu sanırım

---

Farklı sonuç elde edilmiyor, sonuçlar aynı, sadece aynı sonucu veren çarpımlar farklı biçimde yapılıyor.

Answer 1

n+1 sayı sayısını göstermek üzere $\frac{1}{n+1}C(2n,n)$

$n+1=3$ için $\frac{1}{3}.C(4,2)=2$

$n+1=4$ için $\frac{1}{4}.C(6,3)=5$

Comments

Catalan :) bu benim dioganal üzerine çıkılmayan soruyu hatırladın mı?

---

o da Catalan sorusuydu

---

Duruyor :) diagonal uzerine cikmadan kare yolda ilerleme

---

Çözümün neden Catalan sayıları ile verdiğiniz bu formülle bulunduğunu soruyorum.

---

o zaman benim dedigim karmasaya girecez ama ben yapmaya calisirim.

Answer 2

Bu ornekte sunu gozlemleyebiliriz:

$C_0=1$ diyelim, o zaman tum $n \geq 1$ icin:
$C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_iC_{n-i}$.

Bunu nedeni de, tume varimdan $a_1,\cdots,a_n$'e $x$ ekleyelim.
$x(\cdots)$ olan kismi da tek eleman olarak gorelim. Bu da icindeki $i$ sayinin getirdigi $C_i$ ve disindaki $n-i$ sayinin getirdigi $C_{n-i}$'lerin carpimindan olusan toplam gelir.

Olay bu seriyi cozmekte ama bunlar katalan sayilarini olusturuyor.

Comments

Evet aslında benim bildiğim çözüm de bu, sonra bu reküransı formal kuvvet serilerinden yararlanarak iki tane serinin çarpımı biçiminde yazıyoruz. Sonra üreteç fonksiyonunu bulup katsayıların Catalan sayılarının binomlu verilen formunu elde ediyoruz. Ama bu epeyce uzun iş. Acaba başka bir yolu yok mu? Aslında merak ettiğim alternatif bir çözümü var mı Sercan hocam.

---

en guzel yontem kuvvet serisi yapip carmak herhalde, eger o kadar basit gorunumlu degilse.. seri hesaplari, iki seriyi bir birine ekleme, aralarindaki terimleri degistirme vs, hep seri ile cozuluyor. Bu da komplike bir form. Linner degil.