Question

2 asal sayıdır. bunu iki farklı yolla ispat ediniz.

Answer 1

$2$ nin pozitif bölenleri yalnızca $1$ ve $2$ dir. Dolayısıyla $2$ bir asal tamsayıdır. Diğer taraftan $2=2\times1$ yazılabildiğinden yani $2$ yi kendisinden daha küçük pozitif tamsayıların çarpımı şeklinde yazamadığımızdan $2$ asaldır.

Answer 2

Asal sayilarin soyle bir ozelligi var: $p$ bir asal sayi olsun. Eger $p$ bir $ab$ carpimini boluyorsa, o zaman $a$ ve $b$'den en azindan bir tanesi $p$ ile bolunur. 

Ustune ustluk herhangi bir $p$ asal sayisi bu ozelligi sagliyorsa, yani her $a, b$ icin $ab$ carpimini boluyor olmasi, $a$'yi ya da $b$'yi bolmesini gerektiriyorsa, o zaman $p$ bir asal sayidir. 

Simdi $2$'nin asal sayi oldugunu gosterelim. $2$, $ab$ carpimini bolsun. Baska bir deyisle, $ab$ cift olsun. O zaman, $a$ ve $b$'den en azindan bir tanesi cifttir. (Eger ikisi de tek olsaydi, iki tek sayinin carpimi tek sayi olacagi icin, $ab$ de cift olurdu). Yani, en azindan bir tanesi ikiyle bolunur. Bu da $2$'nin asal oldugunu gosterir.

Bunu suslu bir sekilde soylemek gerekirse: $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ bir bolgedir (integral domain).

Comments

2.paragraf doğru  mudur?

---

Bir de asal eleman tartışmalarını yaşamışdık zamanında. Soruyu soran arkadaşımız sitede bir araştırsa orada da faydalı bilgiler mevcut.

---

Soruyu soran arkadasin site icerisinde herhangi bir arastirma yapacagini sanmiyorum. Benim cevabimi da okuyacagini sanmiyordum zaten yazarken. 

Ikinci paragrafta hep pozitif sayilari dusunuyordum. Pozitif sayilari dusunursem dogrudur, degil mi? Ona gore duzelteyim.

---

Eğer demek istediğiniz; "$p\mid ab \Rightarrow p\mid a$ yada $p\mid b$ ise $p$ asaldır." Bu ifade doğru

---

$8\mid 16$ ancak $8\mid 8$ ve $8\nmid 2$ fakat $8$ asal değil.

---

Tabii ki her $a, b$ icin demek istemistim. Anlasilacagini dusunmustum, ama yazmak gerekir. Anlasilmiyor sanirim. $8| 4.4$ ama $8$, $4$'u bolmuyor.

---

Daha önce karşılaşmadım ama bir düşünelim. Şayet doğruysa ispat gerekir.

---

Olmaz gibi Özgür bey.

---

Su sekilde soylesem?

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ tamlik bolgesi ise, $p$ asaldir.

$\overline{a}\overline{b} = \overline{ab} = 0$ olmasi $\overline{a} = 0$ ya da $\overline{b}=0$ olmasini gerektiriyor ise, $p$ asaldir.

Simdi bu sekilde degil de, en basta soyledigim sekilde kanitlayayim. Gerci iki kanit da ayni.

Kontrapozitifini kanitlayacagim. Diyelim ki $p$ asal olmayan bir sayi olsun. O zaman, $1$ ve $p$ disinda bir boleni vardir. $a$ diyelim bu bolene. $b = p/a$ olsun. O zaman $a, b < p$ olur. Bu da, $p$'nin $a$ ve $b$'yi bolemeyecegini soyler. Ama $p = ab$ oldugu icin $p$, $ab$'yi boler. Yani sunu kanitladim. Eger $p$ asal degilse, oyle bir $a , b$ vardir ki $p$, $ab$'yi boler ama $a$'yi bolmez ve $b$'yi bolmez. 

---

Doğrudur Özgür bey.