İki değişkenli (tüm düzlemde tanımlı) sürekli bir fonksiyonun tek bir yerel minimumu (ya da maksimumu) varsa, o noktada global minimum (ya da maksimum) olur mu? (ayrıca yerel maksimumunun da olmadığını varsayın)

Question

Ek olarak başka yerel maksimum da olmadığını kabul edin.

Bu ek koşul, iddia doğru ise, ispatını kolaylaştıracak ama yanlış ise karşı örnek bulmayı zorlaştıracaktır.

Comments

(Asagida epey sacmalamisim bana gore - galiba local maksimum kabulunu atlayip Dogan Donmez'in de dedigi gibi tek degiskenli gibi dusunmusum).

$\{m \: | \: \text{ $m$ degeri $f$ icin bir yerel minimum degeri}\}$ yerel minimum degerlerinin kumesi olsun. Global minimum (sureklilikten dolayi) bu kumenin minimumuna esittir, tabi eger minimumu varsa.

Soruya gecersek $\min\{m_1\}=m_1$. Bu da yerel minimumun global minimum olacagini soyler.

Sureklilik kosulu olmazsa eger, $[y=x \: (x\leq 0)\:, \: \:y=1-x \: (x>0)]$ fonksiyonunda yerel minimum glabal minimuma esit olmaz.

---

Sercan bu (başlangıçtaki) iddianın bir ispatı var mı?

Çok değişkenli fonkisyonlar bir değişkenlilerden çok farklıdır. Sorunun bu şekli ile karşı örneği çok kolay. Daha ilginç yapmak için (doğru ise ispatını kolaylaştıran, yanlış ise örnek bulmayı biraz daha zorlaştıran) bir koşul daha ekledim.

Yüzeylerin denklemlerini değil de şeklini düşünebiliriz.

---

Haklısınız, bi kaç şart eklemek lazım fakat o zaman da genellikten çıkmış oluyoruz. 

Answer 1

 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ olsun. İki kritik noktası var: $(0,0)$ ve $(1,1)$ Standart yöntemlerle (Ozgur ün ilgili problemi çözümünde olduğu gibi) $(1,1)$ yerel minimum olduğu görülür. $(0,0)$ kritik noktasında ise ne yerel maksimum ne de yerel minimum vardır. (bunu  $f(x,0)=x^3$ olduğundan görebiliriz.)

Ama bu fonksyon  $(1,1)$ de (global) minimuma sahip değildir, çünki $f(-2,0)=-8<-1=f(1,1)$ dir. 

Comments

Internete giremedim, kusura bakmayin.

Buna aklim yatiyor. Evet. Peki fonksiyonun tek bir kritik noktasi varsa ve bu tek kritik noktada yerel minimuma sahipse? Cevabi begenemiyorum teknik sebeplerle. 

Ben akademik kategorisinde yeni bir soru olarak acmak istiyorum bunu.

---

Tek kritik nokta olsa bile bu durum mümkünmüş (bunu ben de bilmiyordum öğrenmiş oldum):

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima#Functions_of_more_than_one_variable

de örneği var ($f(x,y)=x^2+y^2(1-x)^3$)

---

Bu fonksiyondan Özgür ün istediği özellikte (tek kritik noktası olan) (polinom olmayan)  bir fonksiyon üretmek de mümkün.

$F:\mathbb{U}\to \mathbb{R}^2, \quad (\mathbb{U}$ üst yarı düzlem) bir diffeomorfizma olsun (bir sürü var).

$g=f\circ F^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, tek kritik noktası olan bir karşı örnektir 

($f(-10,1)<-1$).

---

Guzel bir soru ama, degil mi? Tikizligin onemini gosteriyor bir yandan.