(Uzun uzun anlattigim icin ispat uzun gozukuyor olabilir, fakat uzun degil).
Ilk olarak $$\mathcal F :=\{S \: \: | \: \: \text{$S$ kumesi $F$ cisminin $R \subset S$ ve $IS\ne S$ sartlarini saglayanbir alt halkasi }\}$$ kumesini tanimlayalim.
Hatirlatma: Burada $IS$ iki tane idealin carpimi, tanim geregi $a_\nu \in I$, $s_\nu \in S$ olmak uzere sonlu $\sum a_\nu s_\nu$ toplamlarin hepsini iceren ideal.
Ilk olarak $\mathcal F$ kumesini tanimladik ama bu kume bos mu, degil mi? Teoremin kabullerinden biri $I \ne R$, yani $IR=I \ne R$, ayrica dogal olarak $R \subset R$ de saglanir. Kisacasi $R \in \mathcal F$ ve dolayisiyla $\mathcal F \ne \emptyset$.
$\mathcal H \subset \mathcal F$ tumuyle (totally) sirali bir kume olsun ve $T :=\cup\{S \: | \: S \in \mathcal H\}$ kumesini tanimlayalim. Amacimiz $T \in \mathcal F$ oldugunu gostermek:
1) $\mathcal F$'nin tanimindan dolayi her $S \in \mathcal H \subset \mathcal F$ icin $R \subset S$ olur, yani dolayisiyla $R \subset T$ olur.
2) Peki $T$ kumesi $F$ cisminin bir alt halkasi mi?
$a,b \in T$ ise $a \in S_a$ ve $b \in S_b$ olacak sekilde $\mathcal H$ kumesinin $S_a$ ve $S_b$ elemanlari vardir. $\mathbb H$ tumuyle sirali oldugundan $\mathcal H$ kumesinde $S_a$ ve $S_b$ kumelerini iceren bir adet $S$ elemani vardir. Demek ki $a,b \in S$ ve $S$ bir althalka oldugundan $a-b$ ve $ab$ elemanlari da $S$ halkasinda ve dolayisiyla $S$ halkasini iceren $T$ halkasinda olur. Demek ki $T$ kumesi $F$ cisminin bir alt halkasiymis.
Amac $T\in \mathcal F$ oldugunu gostermekti. Son olarak $IT \ne T$ oldugunu gostermeliyiz:
3) $IT=T$ oldugunu varsayalim. Bu durumda $1 \in T=IT$ olmali. Yani sonlu sayida $a_\nu \in I$, $s_\nu \in S$ icin $\sum a_\nu s_\nu=1$ olmali. $s_\nu$ elemanlari sonlu oldugundan bir adet $S_0 \in \mathcal H$ icin her $s_\nu \in S_0$ olur. Yani $1 \in IS_0$ olur ve bu durumda $IS_0=S_0$ olur. Fakat $\mathcal H$ kumesinin her $S$ elemani icin $IS\ne S$ saglanmaliydi. Celiski.
Tum bunlari bir hic ugruna olmasa da, Zorn Onsavini kullanmak icin gosterdik. Zorn Onsavina gore $\mathcal F$ kumesinin (en az) bir adet maksimal elemani var. Yani, $F$ cisminin icerisinde $R \subset \mathcal O \subset F$, $I \mathcal O \ne \mathcal O$ sartlarinin saglayan bir maksimal halka $\mathcal O$ var.
Su anki amacimiz $\mathcal O$ halkasinin $F/K$ fonksiyon cisminin bir deger halkasi oldugunu gostermek:
$I \ne \{0\}$ ve $I\mathcal O \ne \mathcal O$ oldugundan (biraz bakinca gorebilecegimiz) $\mathcal O \subsetneq F$ ve $I \subset \mathcal O \backslash \mathcal O^\times$ saglanir.
$\mathcal O$ halkasinin $F/K$ fonksiyon cisminin deger halkasi olmadigini varsayalim. Bu durumda oyle bir $z \in F$ olmali ki $z \not \in \mathcal O$ ve $z^{-1} \not \in \mathcal O$ olmali.
$\mathcal O$ halkasinin $R$ halkasini iceren ve $I\mathcal O \ne \mathcal O$ sartini saglayan maksimal halka oldugunu kabul etmistik. Bu durumda $\mathcal O$ halkasini oz olarak iceren $O[z]$ halkasi haliyle $R$ halkasini da icereceginden maksimallik ozelliginden dolayi $I\mathcal O[z]=\mathcal O[z]$ olmali ve ayni sekilde $I\mathcal O[z^{-1}]=\mathcal O[z^{-1}]$ olmali.
Demek ki oyle $a_0,\cdots,a_n,b_0,\cdots \in I\mathcal O$ elemanlari var ki $$1=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n $$ ve $$1=b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_mz^{-m}$$ esitlikleri saglanir.
($I$ birim icermediginden) $m,n \geq 1$ oldugu asikar. Alttan sinir koydugumuza gore artik $m$ ve $n$'yi minimal olacak sekilde secebiliriz. Ayrica $m \leq n$ oldugunu var sayabiliriz. ($m \geq n$ ise $z$ yerine $z^{-1}$ elemanini dusunebiliriz, degil mi?)
Simdi yukaridaki esitlikleri sirasiyla $1-b_0$ ve $a_nz^n$ ile carpalim: $$(1-b_0)=(1-b_0)a_0+(1-b_0)a_1z+\cdots+(1-b_0)a_nz^n $$ ve $$0=(b_0-1)a_nz^n+a_nb_1z^{n-1}+\cdots+a_nb_mz^{n-m}$$ esitlikleri saglanir. Bu iki esitligi toplarsak eger $c_0,c_1,\cdots,c_{n-1}$ olacak sekilde $$1=c_0+c_1z+\cdots+c_{n-1}z^{n-1}$$ esitligini elde ederiz. Bu da $n$ sayisinin minimalligi ile celisir.
Demek ki $\mathcal O$ halkasi $F/K$ fonksiyon cisminin bir deger halkasiymis. Yukari da $I \subset \mathcal O \backslash \mathcal O^\times$ cikarimini yapmistik. $\mathcal O$ deger halkasinin maksimal idealine $P$ dersek $P= \mathcal O \backslash \mathcal O^\times$ oldugundan $I \subset P$ olur.
Simdi de cikarimimizi ispatlayalim:
$R=K[z]$ halkasini ve bu halkanin $I=zK[z]$ idealini dusunelim. Theorem 1.19'dan bir adet $P \in \mathbb P_F$ var ki $z \in P$ olur ve dolayisiyla da $P$ de $z$ elemaninin sifiri olur.
Ayni sekilde $R=K[z^{-1}]$ halkasini ve bu halkanin $I=z^{-1}K[z^{-1}]$ idealini dusunelim. Theorem 1.19'dan bir adet $P \in \mathbb P_F$ var ki $z^{-1} \in P$ olur ve dolayisiyla da $P$ de $z$ elemaninin kutubu olur. $\mathbb P_F = \emptyset$ olsaydi boyle elemanlar olmazdi, degil mi?