sifir ve kutup elemanlari, $\mathbb{P}^1(K)$

Question

$\mathbb{P}^1(K)$ (izdusum varyasyonu, $K$ cismi uzerinde.)

Eger bu isdusum varyasyonunun fonksiyon cisminden (function field) bir fonksiyon alirsak bu fonksiyonun hangi sart altinda sifiri (zero) ya da hangi sart altinda kutubu (pole) ya da hangi sart altinda ne sifiri ne de kutubu olur.

Comments

Ben bu soruda ne sormak istedigini anlamadim. $P^1(K)$'nin fonksiyon cismi $K(x)$ (rasyonel fonksiyonlar cismi) degil mi? $p/q$ seklinde bir fonksiyonun $p$'nin sifiri varsa sifiri, $q$'nun sifiri varsa kutubu, ikisinin de sifiri yoksa ne sifiri ne de kutubu olur.

---

Yorumumun yanlis olduguna inaniyorum su an. Yukaridaki yorumumda $q = 1$ olsun. Yani elimizde sadece bir polinom var. O zaman bu polinomun sonsuzda kutubu vardir, degil mi? Galiba sorulan soruyu yeni yeni anliyorum ben.

---

$p$ ile $q$'nun derecesi ayni olmali (homojen olmalilar hatta), izdusumde calistigimiz icin.

Ben soyle bir iki sey ekleyeyim hocam: ilk olarak $\mathbb{P}^1$ ile $\mathbb{A}^1$ ikili rasyonal denk (birationally equivalent). Islemi $\mathbb{A}^1$'e tasiyabilirsek her sey cok guzel olur. Fakat sundan emin degilim: "sifir sifira, kutup kutuba gitmek zorundadir" diyebilir miyim. (bu soru icin ve genel olarak) (bu soru icin: homejenlestirme ve dehomojenlestirmeyi kullanarak)

Aslinda $(a:1)$ icin diyebilirim galiba, fakat $(1:0)$ elemanini da dusunmek lazim:  bu da aslinda ayni sekilde gibi.