Question

Doğal sayılar üzerinde bir grup yapısı oluşturabilir miyiz?(ya da ancak bir monoid mi oluşturabiliriz?)

Comments

Eğer doğal sayıları sadece bir küme olarak görürseniz tabii ki de sayılabilir bir küme üzerinde oluşturduğunuz her grup yapısını doğal sayılar üzerine de taşıyabilirsiniz. Kurduğunuz grup yapısının doğal sayıların üzerindeki halihazırda tanımlı işlemlerle uyumlu olmasını istiyor musunuz?

Answer 1

Sayılabilir herhangi bir $G$ grubu al. Mesela $G=\mathbb{Z}$ olabilir, ama bambaşka bir grup da olabilir. $f: \mathbb{N} \longrightarrow G$ herhangi bir eşleme olsun. Şimdi $\mathbb{N}$ üzerine şu işlemi tanımla: $$xy = f^{-1}(f(x)f(y)).$$ Bu tanımla $\mathbb{N}$ bir grup olur. $G$'ye izomorf bir grup olur. Ve $f$ fonksiyonu da bu iki grup arasında bir izomorfidir.

Comments

eşleme için Salih hocanında dediği gibi tek doğal sayıları negatif tamsayılara,çift doğal sayıları pozitif tam sayılara götğren bir eşleme işimi görür sanırım.

Answer 2

Yorumda da belirtildiği gibi doğal sayılar kümesi üzerinde kolaylıkla grup yapısı kurulabilir fakat bu grup yapısının doğal sayıların kendi "doğal" toplaması ile çok ilgisi olmaz. Mesela çift sayıları pozitif tam sayılar, tekleri negatif tam sayılar olarak görüp toplama işlemini buna göre tanımlarsanız değişmeli bir grup bulursunuz. 

Eğer doğal sayıların kendi toplaması ile olsun istiyorsanız belli ki olmuyor. Eğer tam aynısı olmasın diyorsanız nasıl bir benzerlik istediğinizi söylemeniz gerekir fakat benim bildiğim ilginç bir özellik yok bu yönde.