Question

$n$ tek bir sayi olmak uzere $n^2-1$ sayisinin $8$ sayisina tam bolunecegini ispatlayiniz.
_____________________________
Su soruyla ilgili: link.
_____________________________
Ornek olarak bakarsak:

$1^2-1=0$
$3^2-1=8$
$5^2-1=24$
$7^2-1=48$

amac her tek sayi icin bunun saglandigini gostermek.

Answer 1

$n=2k-1$ olsun.

$n^2-1=(2k-1)^2-1=(2k-1-1)(2k-1+1)=(2k-2)(2k)=4k(k-1)$

$k \in Z$ olduğuna göre, $k.(k-1)$ bir çift sayıdır.

O hâlde $4k(k-1)$, $8$'e bölünebilir.

Answer 2

$n=1$ icin doğru. $n=2k+1$ icin dogru olsun. Bu durumda $4k^2+4k=8t$ olacak şekilde $t$ tamsayısı vardır. $n=2k+3$ icin ifade $4k^2+4k(1+2)+8=8t+8k+8$ olur ki tumevarim yöntemiyle ispat tamamlanir. 

Answer 3

$k\geq3$ tek bir sayi olsun. Bu durumda $\frac{k-1}{2}$ de pozitif tam sayi olur ve $1$'den $\frac{k-1}{2}$ sayisina kadar olan tam sayilarin toplami olan $\frac{k^2-1}{8}$ de tam sayi olur. 

Answer 4

$n=2k\pm1,\ (k\in\mathbb{Z})$ olsun $(2k\pm1)^2-1=4k^2\pm4k+1-1=4k(k\pm1)$ olur, birinci cevaptan farklı olarak şunu ispatlayacağım, $n$ tane ardışık sayının çarpımı $1$'den $n$'ye kadar bütün tamsayılara hatta $n!$'e de bölünür. Bu da iki ardışık sayının çarpımının daima çift olduğunu tanıtlar: Gösterilmek istenen $$\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)\cdots(k+n)}{n!}\in\mathbb{Z}$$ olduğudur. $$\dfrac{k!(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}{k!n!}=\dbinom{k+n}{n}\in\mathbb{Z}$$'dir. Dolayısıyla iki ardışık sayının çarpımı ikiye bölünür. O halde sayımız tek $n$ tamsayıları için $8$'e bölünür.

Comments

Peki $\binom{k+n}{n}$ neden tam sayi? Nasil ispatlarsin?

---

Umarım çok tuhaf bir mantık değil bu ama combinatorial arguments da benzerini görmüştüm "bu aslinda n+1 tane ozdes topu k tane torbanin icine kac farkli sekilde atabilecegimizin matematiksel ifadesidir, dolayisiyla tamsayi gelecegi barizdir" (??) 

---

Evet. Boyle olabilir.

---

Yahut, pascal ucgeninde k+n inci satirdaki n+1 inci sayi olmasi, pascal ucgeninde her satirdaki sayilar bir onceki satirdaki tamsayilarin toplanmasiyla olusturuldugu icin(?)

---

Evet, bu sekilde tumevarim da kullanabilirsin.

---

Peki daha teknik ve matematiksel nasıl bir ispat kullanılabilir hocam? Siz olsanız nasıl ispatlardınız?

---

ilk dedigin gibi yapardim, fakat ikincisi ile tumevarim bana nedense daha saglammis gibi geliyor. 

Answer 5

Carmichael'in lambda fonksiyonuna göre, eğer  $ 8 | m $ ve $(n,8)=1$ ise

                                                       $n^{\frac {\phi (m)} {2}} \equiv 1 (mod m)$                

denkliği sağlanır. Hatta bu sağlayan en küçük üstür ! 

$m=8$ için $\phi (8) = 4$ olur ve

                                                            $n^2 \equiv 1 (mod 8)$

 Genelleme de yapabiliriz. $r \geq 3$ için  $\phi (2^r) = 2^{r-1}$ olacaktır ve $n^{2^{r-2}} - 1$ sayısı, $2^{r}$ ile tam bölünür.