Tanım: $\mathcal{K}$, $\mathbb{Q}$ üzerinde sonlu üretilmiş (finitely generated) bir $\mathbb{Q}$-cebri ($\mathbb{Q}$-algebra) olsun. $\mathcal{K}$'nın bir alt halkası (subring) olan $\mathcal{R}$, $\mathcal{R}\otimes \mathbb{Q}=\mathcal{K}$ eşitliğinin sağlanması durumunda mertebe (order) adını alır.
Örnek: Diyelim ki $\mathcal{K}$ sanal ikinci dereceden sayı cismi (imaginary quadratic number field) ve $\mathcal{O}$ da $\mathcal{K}$'nın tamsayılar halkası (ring of integers) olsun. Bu durumda her $f\geq 1$ tamsayısı için, $\mathbb{Z}+f\mathcal{O}$ halkası $\mathcal{K}$'nın bir mertebesidir.
Soru: Yukarıdaki örnekte her $f\geq 1$ tamsayısı için, $\mathbb{Z}+f\mathcal{O}$ halkasının $\mathcal{K}$'nın bir mertebesi olduğunu söyledik ve bunu görmek gayet kolay. Diğer taraftan $\mathcal{K}$'nın tüm mertebeleri bu formda olmak zorundaymış. Neden?
---
Şimdiye kadar gördüğüm her kaynakta bu özel sayı cisminin mertebelerinin tanımı buydu. Görünen o ki genel bir ifadenin sonucuymuş.
---
Tanım ve örnek için The Arithmetic of Elliptic Curves, Silverman, İkinci baskı, sayfa 100.
Soru için The Arithmetic of Elliptic Curves, Silverman, İkinci baskı, sayfa 109, Soru 3.20.