Tüm doğrusal dönüşümler aynı biçimde olmak zorunda mı?

Question

doğrusal dönüşüm: linear transformation.

Bu sorunun cevabı aslında evet. Neden böyle olduğunu görmek için Matris çarpımının tanımı "doğal" bir tanım mı? sayfasında vecihi'nin cevabını incelemek yeterli.

Asıl merak ettiğimse bu yolu kullanmadan bunu nasıl gösterebileceğimiz. 

$f:V_{\mathbb{F}}\rightarrow W_{\mathbb{F}}$ doğrusal dönüşüm olsun. Bu demektir ki her $v_1,v_2\in V$ ve her $c\in \mathbb{F}$ için $f(cv_1+v_2)=cf(v_1)+f(v_2)$ eşitliği sağlanır. Sadece bu koşul üzerinden $f$'nin her bir bileşeninin (component), yani \begin{equation}f(x_1,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n))\end{equation} için tüm $f_i$'lerin $c_1x_1+\dots +c_nx_n$ formunda olması gerektiğini nasıl gösteririz? 

En basit haliyle $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu için yukarıdaki koşul sağlanıyorsa $f(x)=ax$ biçiminde olmak zorunda (mı?).

Comments

Soruyu anlayamadım. $f$'nin bileşeni ne demek?

---

Verilene gore $f(c_1v_1+\cdots+c_kv_k)=c_1f(v_1)+\cdots+c_kf(v_k)$ ve eger biz $f(v_i)=x_i$ dersek ilk soru bitmis olur.

ikincisi icin: $f(x)=xf(1)$ olmak durumunda, eger $f(1)=a$ dersek, bu da biter.

---

Biraz daha açmaya çalıştım hocam.

---

Bahsettiğin özel bir durum değil mi?

---

sorunun ilk hali icin cevaplamistim bunu. Bu hali icin de: eger $f$ lineer ise, her $f_i$ lineer olmak durumunda. O zaman yine bu cevaba donuyoruz.

---

Ya ben kendimi iyi ifade edemedim ya da çok yorgunum düşünemiyorum :) $f(v_i)=\text{cos}(v_i)$ de olabilirdi. 

---

o zaman $cos(v_1+v_2)=cos(v_1)+cos(v_2)$ olmak durumunda, ama degil.. ama kafandaki soruyu az cok anladim.. ama ilk adimda yazdigim $x_i$ bir sayi, $f(v_i)$'nin goruntusu.

---

$f(v_i)$ bir sayı olmak zorunda değil, kimi zaman öyle tabii. Diğer yandan cos fonksiyonu istenilen eşitliği sağlamıyor, $x^2$ ve $e^x$ fonksiyonları da öyle. Sorun da burda zaten; öyle bir fonksiyon bulabilir miyiz ki hem istenilen eşitlik sağlansın hem de o formda olmasın. Nihayetinde bulamayacağız da...

Answer 1

Yani aslında sorduğun bir $f:K^n \longrightarrow K$ fonksiyonelinin ne biçimde olduğu. Sadece söylediğin biçimde olabilir. $K^n$ vektör uzayının doğal (kanonik) tabanına $e_1, \ldots, e_n$ diyelim. $f(e_i)=a_i \in K$ olsun. O zaman

$$\begin{array}{lll} f(x_1, \ldots, x_n) &=& f(x_1e_1 + \cdots + x_ne_n)\\ &=& x_1f(e_1) + \cdots + x_nf(e_n)\\ &=& x_1a_1 + \cdots + x_na_n\end{array}$$ olur.

Comments

Hocam bu da özel bir hal değil mi? Başlangıçta $K$ üzerindeki $K^n$ uzayını alıyorsunuz. 

---

Benim $f$ fonksiyonum, senin bileşen dediklerin. Yani $f=f_j$ olarak al.