Question

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere

$$(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]$$

olduğunu gösteriniz.

Comments

Soruyu tam olarak anlayamadım ama bir yorumum var.

Şimdi sayıların birleşimi için bir aralık verilmiş ve bu aralığın iki doğal sınırı var.

Bu doğal sınırların farkını alırsak, kümenin boyutu hakkında bir yorum yapabiliriz.

Bu örnekteki sınırları birbirinden çıkarırsak

$b-\frac{b-a}{4n}-a-\frac{b-a}{4n}$=$\frac{2n-1}{2n}(b-a)$ eşitlikteki ilk ifade her zaman 1 den küçük bir değerdir

o zaman

$(b-a)<1$ olduğu zaman doğal sınırların farkı da 1'den küçük bir değer alır

aynı şekilde $(b-a)>1$ olduğu zaman ise doğal sınırların farkı 1 den büyük bir değer alır.

Bu ifadelerde sayıların bulunduğu aralığı doğru bir şekilde ifade eder.

---

Buradaki sorunun cevabına benzer şekilde yapabilirsin.

Answer 1

Cozum yolu:

Bu araliklarin hepsi $(a,b)$'nin icindende oldugunu gosterirsek, $(a,b)$ bunlarin birlesimini icerdigini gostermis oluruz.

Diger taraftan ise $\lim\frac{b-a}{4n}=0$ oldugunu biliyoruz. Yapmamiz gereken $x \in (a,b)$ alip bu $x$ elemaninin bu kapali kumelerden birinin icine dusecegini yukaridaki limitin tanimi ile $(\epsilon>0$) gosterebiliriz.

Comments

tamam ama bu büyük bileşimler $[a,b]$ niye olamıyor?

edit: $a-\epsilon$'dan dolayı sanırım

---

$(a,b)$'yi icerecegine ikna olduysan gerisinde sunu gostermelisin $\mathbb R\setminus (a,b)$'den bir eleman iceremez. Buna aslinda ilk basta ikna olmak gerekli cunku birlesin icerisinde her aralik $(a,b)$ icerisinde... Yani birlesim de $(a,b)$ icerisinde olmali. 

Answer 2

$$(a,b)\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]$$

ve

$$(a,b)\supseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]$$ olduğunu göstermek yeterli ve gereklidir.

$$(a,b\in\mathbb{R})(a<b)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(a<a+\frac{b-a}{4n}\right)\left(b-\frac{b-a}{4n}<b\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]\subseteq (a,b)\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left [a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]\subseteq (a,b)\ldots (1)$$

$$-----------------------------------$$

$\left.\begin{array}{rr} x\in (a,b)\Rightarrow a<x<b \Rightarrow (0<x-a)(0<b-x) \\ \\ \text{Arşimet Özelliği}\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists n_1\in \mathbb{N})(b-a\leq 4n_1(x-a))(\exists n_2\in \mathbb{N})(b-a\leq 4n_2(b-x))$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow(\exists n_1\in \mathbb{N})\left(a+\frac{b-a}{4n_1}\leq x\right)(\exists n_2\in \mathbb{N})\left(x\leq b-\frac{b-a}{4n_2}\right)\\ \\ n_0:=\max\{n_1,n_2\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (n_0\in \mathbb{N})\left(a+\frac{b-a}{4n_0}\leq x\right)\left(x\leq b-\frac{b-a}{4n_0}\right)$

$\Rightarrow (n_0\in\mathbb{N})\left (a+\frac{b-a}{4n_0}\leq x \leq b-\frac{b-a}{4n_0}\right)$

$\Rightarrow x\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right].$

O halde $$(a,b)\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]\ldots (2)$$

$$-----------------------------------$$

$$(1),(2)\Rightarrow (a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left [a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right].$$