$\text{Aut(E)}\to \text{Aut}(E[2])$ fonksiyonunun çekirdeği $[\pm 1]$ olur.

Question

Diyelim ki $E$, $K$ cismi üzerinde bir eliptik eğri (elliptic curve), $m\geq 2$ tamsayısı $K$ cisminin karakteristiği ile, eğer bu karakteristik $0$'dan farklı ise, aralarında asal olsun. Bu durumda, $$\text{Aut(E)}\to \text{Aut}(E[m])$$ şeklinde tanımlanan doğal fonksiyon $m\neq 2$ için birebir (injective) olmak durumunda. Eğer $m=2$ ise, yani $$\text{Aut(E)}\to \text{Aut}(E[2])$$ fonksiyonuna bakarsak bu durumda birebirlik elde edemiyoruz ve çekirdeğimiz (kernel) $[\pm 1]$ oluyor.

$m\neq 2$ için birebirliğin neden ve nasıl sağlandığını gösterebildim ama $m=2$ için çekirdek neden $[\pm 1]$ oluyor, bunu anlayamadım.

---

The Arithmetic of Elliptic Curves, J. H. Silverman, Alıştırma 3.12

---

Aslında bir $E$ eliptik eğrisi için $\text{Aut}(E)$ grubunun tüm durumlarda ne olduğunu biliyoruz, dolayısıyla bu soru gayet açık. Ama Silverman sorunun bu bilgiyi kullanmadan yapılabileceğini iddia ediyor.

Comments

Kullanmamiz gereken: $P \in E[2]$ oldugunda $P+P=0$ olacacindan $P=P$ olmasinin yani sira $P=-P$ de oluyor.

---

ispatini da ekleyebilir misin?

---

$[\pm 1]$ fonksiyonları tabii ki çekirdekte. Başka neden yok?

---

Cekirdekten bir $\sigma$ elemani alalim. $\sigma(P)=P$ olmali. Yani $\sigma: R \to (2k+1)R$ fonksiyonu olmali ki bu saglansin.  Bu durumda eger $2k+1 \ne \pm1$ ise $E[2k+1]$  ($\ne 0$) $\sigma$'nin cekirdeginde. Bu da otomorfizmayi bozar.

---

Tüm otomorfizmalar bir elemanı onun bir katına götürmek zorunda değil.

---

$\sigma(P)=P=3P=5P=\cdots$. olmali. Baska secenek var mi?

---

Var. Hatta complex multiplication denilen durum, tam da tamsayıyla çarpmadan daha fazlası olduğu zamanı anlatmak için kullanılan bir tabir.

---

Orada inanılmaz güzel bir teori var Lubin-Tate'e kadar giden. Milne'in internette bulabileceğin Class Field Thery notlarının içinde Lubin-Tate teoriyi anlattıktan sonraki tarihsel notlar kısmında bu complex multiplication'ın konuyla ilişkisini anlatıyor.

---

Benim demek istediğim $E[2]$'yi sabit bırakan otomorfizmalardı. Galiba şu an çok basit bir hatanın içersindeyim, -de sonra düşünmek istiyorum. Bakacam onlara, eyvallah yorumların için.