Karmasik sayilarda carpma islemi

Question

Eger $(a+bi)\cdot(c+di)$ carpimini $ac,bd,ad,bc$ carpimlarini hesaplayarak $(ac-bd)+(ad+bc)i$ olarak yazarsak $4$ adet carpma islemi kullammis oluyoruz.

Carpma islemi sayisini $a,b,c,d$ sayilarini kullanarak $3$'e ya da daha aza indirebilir miyiz? Toplama sayisi artabilir.

Kategoriyi serbest secme sebebim islem olarak ortaogretim olmasi, fakat ise yararlilik bakimindan akademik olmasi. Arada kaldim, serbest biraktim.
_____
Duzenleme: ise yararlilik bakimindan akademik olarak isaretliyorum kategoriyi. Gerekli itirazi olan olursa yorum olarak acigiz her turlu elestiriye.

Comments

Buna benzer bir soruyu ("polinomlarda hızlı çarpma" diyeydi sanırım) Özgür sormuştu. 

---

Sercan hocam, 4'ten daha düşük çarpım işlemi yapmak ne demek?

Reel kısımların ve imajiner kısımların birbirleriyle çarpımlarını "meselâ" 2 işlemde nasıl çarpmayı düşünüyorsunuz?

---

@ Handan, (link), evet, neredeyse birebir ayni. Soruyu kapatacaktim ama sonradan Ozgur'un sorusunda baz olarak $\{1,x,x^2\}$ oldugunu ve burda $\{1,i\}$ oldugunu fark ettim ve bu nedenle hafif de olsa farkli oldugunu dusundum. Zaten karmasik carpim basli basina onemli bir konu (diyorlar). O nedenle bu da kalsin.

@ funky2000, $a,b,c,d \in \mathbb R$ kullanilacak.

---

Yok kapatma sorunu. Sorular güzel. Okuyunca linkte verdiğin soruyu çağrıştırıyor. Şafak' in da benzer  bir sorusu vardı. Hiçbirine cevap gelmedi henüz. 

---

Bir sonuç çıkabileceğini sanmıyorum. :)

---

Sonuc var. 3e inebiliyor. 

Answer 1

$z_1=a+ib$ ve $z_2=c+id$ olmak üzere, $(a,b,c,d \in \mathbb{R})$, $z_1.z_2$ çarpımını aşağıdaki gibi yazabiliriz:

$z_1.z_2=(a+ib)(c+id)=ac-bd+i(ad+bc)$

İmajiner kısım olan $ad+bc$ çarpım toplamını şöyle yazabiliriz:

$ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd$

Şu hâlde;

$z_1.z_2=(ac-bd)+i \left [(a+b)(c+d)-ac-bd \right ]$ olarak yazabiliriz ki bilinmesi gereken çarpımlar, $ac$, $bd$ ve $(a+b)(c+d)$ olarak $4$'ten $3$'e indirilebilir.