Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{3n}}{(3n)!}$$ serisinin toplamını bulunuz.

Lisans Matematik kategorisinde (57 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlham Aliyev ile birlikte düşündüğümüz bir çözüm şöyle:
(EDIT: DoganDonmez) $e^x$ in McLaurin serisini 3 seriye bölelim. Burada
\begin{eqnarray} y=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !} \end{eqnarray}
dersek $e^x$ in McLaurin serisi
\begin{eqnarray}
y^{^{\prime \prime }}+y^{^{\prime }}+y=e^{x}
\end{eqnarray}
sabit katsayılı , homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemine dönüşür. Bu denklemin homojen kısmının çözümü

$\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{2}x}\left( c{1}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +c{2}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) \end{eqnarray}$

($ c1,c2$ keyfi sabitler), ve bir özel çözümü;

$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}e^{x}
\end{eqnarray}$
dir. Başlangıç koşullarının $ y(0)=0 $ ve $ y'(0)=0 $ olduğu kolayca görülür. Buradan sabitlerin belirlenmesiyle
\begin{eqnarray}
y=f\left( x\right) =\frac{1}{3}e^{x}-e^{-\frac{1}{2}x}\left( \frac{1}{3}\cos
\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( \frac{\sqrt{
3}}{2}x\right) \right)
\end{eqnarray} elde edilir.

(210 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Yazı dili anlaşılmıyor, rica etsem yönetimden arkadaşlar ilgilenebilirler mi? Teşekkür ederim...
Ayhan Dil in cevabı:

İlham Aliyev ile birlikte düşündüğümüz bir çözüm şöyle:

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=$ $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{
\left( 3n\right) !}$ $+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{\left( 3n+1\right) !}
+$ $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !} $

eşitliğinden yola çıkalım. Burada
\begin{eqnarray*}
y=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !}
\end{eqnarray*}
dersek yukarıdaki eşitlik
\begin{eqnarray*}
y^{^{\prime \prime }}+y^{^{\prime }}+y=e^{x}
\end{eqnarray*}
sabit katsayılı , homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemine dönüşür. Bu denklemin homojen kısmının çözümü;:
\begin{eqnarray*}
e^{-\frac{1}{2}x}\left( c_{1}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)
+c_{2}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right)
\end{eqnarray*}
($ c_{1} $ ve $ c_{2} $ keyfi sabitler), ve bir özel çözümü;
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{3}e^{x}
\end{eqnarray*}
dir. Başlangıç koşullarının $ y(0)=0 $ ve $ y'(0)=0 $ olduğu kolayca görülür. Buradan sabitlerin belirlenmesiyle
\begin{eqnarray*}
y=f\left( x\right) =\frac{1}{3}e^{x}-e^{-\frac{1}{2}x}\left( \frac{1}{3}\cos
\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( \frac{\sqrt{
3}}{2}x\right) \right)
\end{eqnarray*}
elde edilir.

Maalesef ozellikle Ayhan Dil hocam, ve arada baska arkadaslarin yanitlarinda da latex kodu dogru olmasina ragmen, ve onizlemede dogru gorunmesine ragmen, sayfada dogru goruntulenmiyor.

Latex derleyici aynı matematik oratmında birden fazla alt tire (_) görünce hata yapıyor (Metinde o kısım italik olarak görünüyor). Onları düzelttim, Fakat Türkçe karakterlerde de sorun vardı, galiba şimdi düzeldi.
Bunu bir türlü düzeltemiyorum. Aşağıda bu cevabı ben tekrar yazdım.

EDIT: Nihayet, KISMEN düzeltebildim. (Bu cevapta) Tüm sayfada birden fazla alt-tire kullanılıras $\LaTeX$ derleyici doğru çalışmıyor, bazı değişiklikler yaparak tek bir alt-tire kullnarak sorunu (kısmen) çözdüm.

Yanıtı diferansiyel denklemden kurtarmak için; $\eta$, 1'in primitif bir küpkökü olmak üzere  ilk denklem $\eta x$ ve $\eta^{2} x$ için de yazılıp üç denklem toplandığıda aynı sonuç elde edilebiliyor (ikinci ve üçüncü toplamlar sıfır olur). 

 

Şahane çözümmüş yazacaktım, yorumlarda daha da güzeli çıktı karşıma.

20,282 soru
21,819 cevap
73,497 yorum
2,511,083 kullanıcı