Question

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}-2x\right]=\frac{1}{3}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Verilen ifadeyi küp açılımı seklinde eslenigiyle genisletirseniz, pay kisminda 8x^3 l'ler birbirini götürür, 4x^2 (en büyük dereceli terim) kalir.
Payda kisminda da 4x^2+4x^2+4x^2=12x^2 gelir.
Buradan limit 1/3 gelir.

Answer 2

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$  olduğu için $a=\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}$  ve  $b=2x$

denirse;  

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}-2x\right] $,

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}-2x\right]\frac{\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{2/3} +2x\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}+4x^2}{\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{2/3} +2x\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}+4x^2}$,

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)-8x^3\right]$ $\frac{1}{\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{2/3} +2x\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}+4x^2}$,

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(4x^2+x+1/3\right)$ $\frac{1}{\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{2/3} +2x\left(8x^3+4x^2+x+1/3\right)^{1/3}+4x^2}$, Burada pay ve payda en büyük dereceli terim parantezine alınır ve düzenlenirse;

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2\left(4+x/4+1/{3x^2}\right)}{x^2\left(8+4/x+1/{x^2}+1/{3x^3}\right)^{2/3} +2x^2\left(8+4/x+1/{x^2}+1/{3x^3}\right)^{1/3}+4x^2}$

Burada payda $x^2$ parantezine alınır ve sadeleştirmeden sonra limit alınırsa:

$\frac{4}{\sqrt[3]{8^2}+2\sqrt[3]8+4}=\frac{4}{12}=1/3$