Tanım: $X\neq\emptyset$ herhangi bir küme olmak üzere $$f:\mathbb{N}\to X$$ şeklindeki her fonksiyona $X$'de bir dizi kısaca dizi denir.
$$X\neq\emptyset$$
$$:\Rightarrow$$
$$f, X\text{'de dizi}:\Leftrightarrow f:\mathbb{N}\to X \text{ fonksiyon}$$
Bir $X$ kümesinde $f:\mathbb{N}\to X$ dizisi veya kümesel gösteriliş ile $$f=\{(n,f(n))|n\in\mathbb{N},f(n)\in X\}=\{(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),\ldots\}$$ dizisinde ikililerin ilk elemanlarını her defasında belirtmeye gerek yoktur. Çünkü $\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi tüm diziler için değişmez tanım kümesidir. Yani fonksiyonun $f(n)$ kuralı yalnız ve yalnız $n$ yerine bir doğal sayı geldiği zaman $X$ kümesinin bir elemanı olur. O halde $f$ dizisi $$f=\{f(n)|n\in\mathbb{N}\}=\{f(1),f(2),f(3),\ldots\}$$ şeklinde veya $$x_n:=f(n)$$ ve $$f=\{f(n)|n\in\mathbb{N}\}:=\langle x_n \rangle$$ yazılarak kısaca $$f:=\langle x_n \rangle:=\langle x_1,x_2,x_3,\ldots \rangle$$ şeklinde gösterilebilir. $X$ kümesinin $$x_1,x_2,x_3,\ldots$$ elemanlarına $f$ dizisinin terimleri; $n$ doğal sayısının $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünü temsil eden $X$ kümesinin $x_n$ elemanına da $f$ dizisinin genel terimi denir.
Tanım: $\langle x_n\rangle\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}(:=\{f|f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} \text{ fonksiyon}\})$ ve $x\in \mathbb{R}$ olmak üzere
$$x_n\to x:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_0\in \mathbb{N})(n\geq n_0\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$
$$\langle x_n\rangle, (\mathbb{R}\text{'de})\text{ yakınsak }:\Leftrightarrow (\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)$$
Geri kalan kısım Sercan arkadaşın yazdığı gibi.