$\left ( \frac k2 \right)=p^n+1 \text{ olsun.} \\ \frac{k!}{(k-2)!2!}=1+p^n \\ k(k-1)=2+2p^n \\ k^2-k-2=2p^n \\ (k-2)(k+1)=2p^n * \\ k-2 \text{ çifttir veya }k+1 \text{ çifttir.} \\ k-2=2m, m \geq 1 \text{ olsun.} \\ * \text{ eşitliği } m(2m+3)=p^n \text{ olur ki, }m=p^r \text{ ve }2p^r+3=p^{n-r}\text{'dir.} \\ r=0 \Rightarrow m=1, 2m+3=5=p^n \rightarrow k=4, p^n=5 \\ r \geq 1 \Rightarrow 2p^r+3:p\text{'dir. } p=3\text{'tür.} \\ 2.3^{r}+3=3^{n-r} \\ 2.3^{r-1}+1=3^{n-r-1} \\ 2.3^{r-1} \neq 0 \text{ olduğundan, sağ taraf }1\text{ olmayacağından, }r-1=0 \text{'dır.} n=3, m=3, 2m+3=9, k=8, p^n=27 \\ k+1=2m,m >1 \text{ olsun.} \\ * \text{ eşitliği } m(2m-3)=p^n \text{ olur ki, } m=p^r, r \geq 1 \text{ ve } 2p^r-3=p^{n-r}\text{'dir.} \\ n-r=0 \Rightarrow r=n=1, p=2, k=3, p^n=2 \\ n-r \geq 1 \Rightarrow \text{Bölünebilirlikten dolayı } p=3 \text{'tür.} \\ \text{Eşitlik, }2.3^{r-1}-1=3^{n-r-1} \\ 3^{r-1} \text{ veya }3^{n-r-1}, 1 \text{ olmalıdır.} \\ r=1, n=2, k=5, p^n=9 \\ k=\{3,4,5,8\} \text{ değerlerini alabilir.}$