Question

3 + $3^2$ + $3^2$ üzeri 2 + $3^2$ üzeri 3 + $...$ $3^2$ üzeri 2006 toplamamamının 11 ile kalanı nedir?

Answer 1

moduler aritmetik kullanalım. En baştaki 3 sayısını birkenera ayırır isek aslında verilen denklem şudur;

$(9)+(9)^2+(9)^3+....+(9)^{2006}$

$9=9 (mod 11)$

$9^2=4 (mod 11)$

$9^3=3 (mod 11)$

$9^4=5 (mod 11)$

$9^5=1 (mod 11)$

Kalan 1'i bulduğumuza göre burada durabiliriz. Demekki denklemdeki sayıların 11 ile kalanı 5li gruplar halinde tekrar ediyormuş. O vakit

$[(9)+(9)^2+(9)^3+(9)^4+(9)^5]....+[(9)^{2001}+(9)^{2002}+(9)^{2003}+(9)^{2004}+(9)^{2005}]+(9)^{2006}$

fromuna döner ve her beşli grubun 11'e bölümü modlarının toplamından kalan kadardır, yani

9+4+3+5+1=22. Bu sayının 11e bölümünden 0 kaldığına göre demekki her beşli grup 11'e tam bölünebilir. O vakit en başta kenara ayırdığımız 3 ve $(9)^{2006}$$ toplamının sonucuna bakmalıyız

$(9)^{2006}$ 'den kalanda 9 olduğuna göre(2006=2005+1 ve 2005, 5 ile aynı demiştik)

3+9=12. 11 e bölümünden kalan 1dir.

Comments

Cevap 10 olmalı.

---

ilginç, bir yerlerde bir hata yapmış olmalıyım, fakat tekrar kontrol ettiğimde bir sıkıntı göremedim. Sorunun en başında verilen toplama işlemindeki ilk ifade 1 mi yoksa 3 mü? eğer bundan eminsek ben sorunun cevabının yanlış verilmiş olabileceğini düşünüyorum.

---

en bastaki ilk ifade 3.

---

ilginç. O vakit bir kişinin daha soruyu çözmesini bekleyelim, belki benim bir yerlerde yapmış olabileceğim bir hatayı farkeder. Fakat bu tür soruların çözümünde yaklaşım bu şekilde olur, sizin çözüm yolunu öğrenmiş olmanız daha iyi

---

Tamam,bir kullanıcının cevabını bekleyelim.