Dihedral grup mertebesinin $|D_{n}|=2n$ olduğunu gösteriniz. $D_{n}$'nin bir üreteç kümesini belirleyiniz.

Question

Dihedral grup tanımının düzgün n_genin simetri grubu oldugunu biliyorum. Ama bu sorunun çozumu uzerine bir kitapta karsilastigim su tanimi anlamadim.

( $x^n=y^2=e$ ve $xy=yx^{n-1}$ koşullarini saglayan $x$ ve $y$ ile uretilen gruba dihedral grup denir. )

Bu tanim genel olarak dihedral grup tanimi olarak kullanilabilir mi ? Yoksa sadece $D_n$'nin bir ureteci mi ?

Bu tanim uzerinden sorunun cozumunu anladim hatta cozum olarak paylasmak istiyorum ama alternatif cozumleri de (eger varsa) merak ediyorum.

Answer 1

Kullanilabilir.

Genel olarak elinde bir $G$ grubunun bir uretec kumesi ($U$) ve uretecler arasindaki iliskiler ($I$) varsa $(U , I)$ ikilisi $G$'yi tanimlar. (Presentation of a Group). Bir grubu bircok sekilde tanimlayabilirsin. Bazen degisik uretecler ve degisik iliskiler bulabilirsin. Uzerinde calistigin seye, cozmek istedigin soruya gore hangisinin daha kullanisli olduguna karar vermek sana kalmis.

Ayrica cebir dersi alanlar icin gayet guzel bir oyunu mumkun kiliyor bu. Oyun soyle calisiyor:

$A$ ve $B$ kisileri mertebesi $1$ olan gruptan baslayarak sirayla birer grup tanimliyorlar.  Eger kisilerden bir tanesi daha onceden soylenmis bir grubu (ya da o gruba izomorf bir grubu) soylerse kaybediyor. Veya kisilerden bir tanesi mertebesi $d$ olan bir grubu atlayip mertebesi $d+1$ olan bir grup soylerse, ve diger kisi de bunu farkedip kendi sirasi geldiginde o atlanan $d$ mertebeli grubu soylerse ikinci kisi kazaniyor. Amac oyunu kazanmak oldugu icin gruplarin degisik gosterimlerini ve ureteclerini bilmek onem kazaniyor.

Ornek:

$A : \{0\}$;

$B : \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$;

$A : $ $x^3 - 1=0$ denkleminin kompleks koklerinin carpma altinda olusturdugu grup. (Bu grup $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$'ye izomorf, $A$ kisisi bunu $B$'yi kandirmak icin soyluyor. $B$ simdi $\mathbb{Z}/ 3 \mathbb{Z}$ derse kaybeder.)

$B: \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$;

$A : \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$;

$B : \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

$B$ kazandi!

Comments

http://matkafasi.com/34286/mertebesi-gruplarin-gruplarin-sayisinin-%2599undan-fazladir

1024'e kadar giderlerse oyun sıkıcı bir hal alabilir.

---

niye B kazandı?

---

Çünkü A kişisi mertebesi 4 olan bir grup varken mertebesi 5 olan bir grup söyledi ve B kişisi de sıra kendisine gelince mertebesi 4 olan bir grupla devam etti

Answer 2

TANIM: Bir $P$ düzleminin bütün noktalarının kümesi $E$ olsun. $E$ nin boş olmayan herhangi bir alt küümesine $P$ de bir geometrik şekil denir.

TANIM: Düzlemin iki noktası arasındaki uzaklığı gösteren fonksiyon $d$ olsun. $T : E \rightarrow E$ bire bir bir eşleme; yani, permütasyon olsun. Eğer $T$ uzaklıkları korursa; yani $\forall p,q \in E$ için $d(p,q)=d(T(p),T(q))$ ise $T$ ye bir izometri denir.

TANIM: Düzlemde bir $p$  noktası ile bir $L$ doğrusu verilsin. Düzlemin bütün noktalarının $p$ etrafında belli bir açı kadar döndürülmesiyle tanımlanan fonksiyona bir dönme ve düzlemin her $q$ noktasını $qq'$ doğru parçasının orta dikmesi $L$ olacak biçimde bir $q'$ noktasına götüren fonksiyona da bir yansıma denir. Ayrıca düzlemin bütün noktalarını aynı yönde belli bir uzaklık kadar öteleyen fonksiyona da bir öteleme denir.

Şimdi bir düzgün n_gen $\Delta_n$ ile ve bunun simetri grubu $D_n$ ile gösterilsin. $\Delta_n$ nin köşeleri $1,2,3,...,n$ ile numaralansın. $T\in D_n$ olsun. $T$, $\Delta_n$ yi kendi üzerine götüreceğinden $\Delta_n$ nin her noktasını tekrar $\Delta_n$ nin bir noktasına götürür ve uzaklıkları korur. Dolayısıyla $\Delta_n$ nin ağırlık merkezini sabit bırakır. Köşelerin ağırlık merkezine olan uzaklıkları eşit olduğundan her köşeyi bir köşeye ve her kenarı bir kenara götürür. Dolayısıyla $T$, köşeler üzerinde birer permütasyon tanımlar.

Merkez etrafında $\frac{360}{n}$ derecelik bir dönme $\Delta_n$ yi kendi üzerine götürür. $\forall 0\leq k \leq n-1$ için $R_k$ merkez etrafında $\frac{360}{n}$ derecelik dönme olsun. Açıkça görüldüğü gibi $R_k \in D_n$ dir. Önce $n$ $çift$ olsun. O zaman karşılıklı köşeleri ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğrulara göre olan yansımalar da $\Delta_n$ yi sabit bırakır, dolayısıyla $\Delta_n$ nin birer simetrisidir. Böylece $\Delta_n$ nin $n+n=2n$ simetrisi elde edilir. Başka simetri olmadığından $|D_n|=2n$ dir. Diğer taraftan $n$ $tek$ olsun. O zaman her köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğruya göre yansıma $\Delta_n$ nin simetrisidir. Bunların sayısı $n$ olduğundan bu durumda da $|D_n|=2n$ bulunur.

O halde dihedral grup $D_n$ mertebesi $2n$ dir.

$D_n$ nin bir üreteci $x^n=y^2=e$ ve $xy=yx^{n-1}$ koşullarını sağlar.

$<A>=<x,y: x^n=y^2=e, xy=yx^{n-1}>$ olsun. Bu grubun elemanlşarının $D_n$ yi ürettiğini görelim.

$xy=yx^{n-1} \Rightarrow x^2y=xyx^{n-1}$

                      $\Rightarrow ... $şeklinde devam edilirse

                      $\Rightarrow i= 0,1,...,n-1 $ için $x^iy=yx^{i(n-1)}$ bulunur.

$x^n=e$ olduğundan $i(n-1)\equiv k (mod n)$ , $0\leq k\leq n-1$ yazılabilir.

Yani  $x^iy=yx^{i(n-1)}=yx^{k}$ olur. Şu halde $x-y\in A$ olduğundan bu iki elemanın değişik sırada bütün kuvvetleri çarğımı da $A$ grubundadır.

$A=\{e,x,x^2,...,x^{n-1},y,yx,...,yx^{n-1}\}$ elde edilir.

$|A|=2n$ olduğu açıktır. O halde $D_n=<A>$ olur.

Comments

<A>'yı tanımlarken, bir de bir üst cümle de y'nin üsleri n olarak yazılmış.

---

Tesekkur  ederim  Sercan hocam dikkatsizligimi duzeltm :)