$h=f-g$ için, $D_h=D_f$ yani $f$ ile $h$'nin süreksiz olduğu noktalar kümesi aynı olmalı, çünkü $g$ sürekli. Ayrıca, $\{x\in (0,1): f(x)\neq g(x) \}=\{x\in (0,1): h(x)\neq 0\}$ eşitliği de sağlanmalı tabii ki. Demek ki $g=0$ olduğunu varsayabiliriz.
Kolaylık olması açısından $Q=\{x: f(x)\neq 0\}$ tanımlamasını yapalım. Varsayıma göre $Q$ kümesi bir aralık içermez, diğer bir deyişle her $(a,b)$ aralığı için, öyle bir $x\in (a,b)$ vardır ki $f(x)=0$ olur.
İddia 1: Eğer $x\notin D_f$, o zaman $f(x)=0$ olur.
İspat: $x\notin D_f$ olsun. Varsayalım ki $f(x)=c\neq 0$. $D_f$ kümesinin tanımı gereği, $f$ fonksiyonu $x$ noktasında sürekli olmalı. Demek ki her $\epsilon>0$ için, öyle bir $\delta>0$ vardır ki $$|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$ ifadesi sağlanır. O halde öyle bir $\delta>0$ vardır ki $$|x-y|<\delta\Rightarrow |c-f(y)|<\frac{|c|}{2}$$ ifadesi sağlanır. Demek ki $f(y)\neq 0$ imiş, aksi halde $|c|\leq \frac{|c|}{2}$ saçmalığını elde ederdik. Demek ki her $y\in (x-\delta,x+\delta)$ için $f(y)\neq 0$ imiş. Ama yukarıdaki açıklamadan biliyoruz ki bu mümkün değil. O halde $f(x)=0$ olmalı.
İddia 2: $D_f$ kümesinin ayrık (isolated) noktası yoktur.
İspat: Diyelim ki $x_0\in D_f$ noktası ayrık olsun. Bu durumda öyle bir $\epsilon>0$ vardır ki, $$((x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\setminus \{x_0\})\cap D_f=\emptyset$$ bir diğer deyişle $$(x_0-\epsilon,x_0)\cap D_f=\emptyset\ \ \ \ \text{ve} \ \ \ \ (x_0,x_0+\epsilon)\cap D_f=\emptyset .$$
Şimdi bir $y\in (x_0-\epsilon, x_0)$ elemanı alalım. $(x_0-\epsilon,x_0)\cap D_f=\emptyset$ olduğundan, $y\notin D_f$ olmalı. İddia 1'den, $f(y)=0$. Demek ki, $$\lim_{x\to {x_0}^{-}} f(x)=0. \ \ \ (1)$$
Benzer olarak bir $z\in (x_0,x_0+\epsilon)$ elemanı alalım. $(x_0,x_0+\epsilon)\cap D_f=\emptyset$ olduğundan $z\notin D_f$ olmalı. İddia 1'den, $f(z)=0$. Demek ki $$\lim_{x\to {x_0}^{+}} f(x)=0. \ \ \ (2)$$
(1) ve (2)'ye göre $x_0\in D_f$ elemanının sağ ve sol limitleri aynı. Varsayıma göre böyle olamaz. Demek ki $D_f$ kümesinden ayrık nokta yok.
O halde $D_f$ kümesi hiç ayrık noktası olmayan kapalı bir küme, yani $D_f$ kümesi bir mükemmel (perfect) küme. Bebek Rudin'in (Principles of Mathematical Analysis) 2.43 numaralı savı der ki bir mükemmel küme sayılamaz olmalı!