Aslında bu soru gözüktüğünden daha problematik.
Öncelikle doğal sayılar (ya da herhangi sayılabilir bir küme) üzerinde noktaların olasılıklarının sıfır olduğu $\sigma$-eklemeli bir olasılık ölçümü yoktur. Dolayısıyla doğal sayılardan düzgün bir dağılımla rastgele sayı seçmenin bir yöntemi yoktur. Yani doğal sayılardan $[0,1]$ kümesinden rastgele eleman seçtiğimiz gibi rastgele eleman seçemeyiz.
Bu noktada iki şey yapabiliriz. Birinci olarak doğal sayılar üzerinde kafamıza göre bir olasılık dağılımı tanımlayıp sayıları buna göre seçebiliriz, ki bu durumda her n için $p(\{n\})=0$ olmayacaktır. Genelde "rastgele" seçim dediğimiz şeyde bir düzgünlük (uniformity) aradığımızdan bunu pek istemediğimiz konusunda hem fikiriz sanırım.
İkinci olarak "doğal sayılardan rastgele bir eleman seçildiğinde x olma olasılığı nedir" sorusunu "[0,n] aralığından rastgele bir doğal sayı seçildiğinde x'in olma olasılığının n sonsuza giderkenki limiti nedir" şeklinde yorumlayabiliriz, ki
şurada yapılan tam olarak budur.
Bir $n \geq 1$ sayısı için $[0,10^n-1]$ aralığına bakalım. Bu aralıktan düzgün dağılımla bir doğal sayı seçildiğinde onluk gösteriminde 4 sembolünü barındırmama olasılığını hesaplayalım.
İçerisinde 4 sembolünü barındırmayan ve $[0,10^n-1]$ aralığında bir sayıyı temsil eden her karakter dizisini $0 \mapsto 0, ..., 3 \mapsto 3, 5 \mapsto 4, ..., 9 \mapsto 8$ fonksiyonu ile içerisinde sadece 0'dan 8'e kadar sembolleri barındıran ve $[0,9^n-1]$ aralığındaki bir doğal sayıyı dokuzluk sistemde temsil eden bir karakter dizisine götürebiliriz. Ayrıca bu fonksiyon birebir ve örtendir. Demek ki $[0,10^n-1]$ aralığında onluk tabanda yazıldığında içinde 4 sembolünü barındırmayan sayıların sayısı $9^n$. Yani $[0,10^n-1]$ aralığından rastgele bir sayı seçtiğimizde onluk tabanda 4 sembolünü barındırma olasılığı $1-(9/10)^n$.
Şimdi $m \geq 10$ olmak üzere $[0,m]$ aralığından rastgele bir sayı seçtiğimizde ne olduğunu anlayalım. $n=\lfloor log_{10}(m) \rfloor$ olsun. $k$ pozitif tam sayısı da $k.10^n \leq m$ eşitsizliğini sağlayan en büyük sayı olsun.
Bu durumda $[0,10^n), [10^n,2.10^n),...,[(k-1).10^n,k.10^n)$ aralıklarından her biri (en az) $10^n-9^n$ tane onluk tabanda 4 sembolü barındıran sayı içerir. (Burada "en az" dememin nedeni $k \geq 5$ olduğu durumlarda $[4.10^n,5.10^n)$ aralığındaki her sayının 4 sembolünü barındırması.)
Demek ki
$[0,m]=[0,10^n) \cup [10^n,2.10^n)\ \cup ... \cup\ [(k-1).10^n,k.10^n) \cup [k.10^n,m]$
aralığında en az $k.(10^n-9^n)$ tane 4 sembolü barındıran sayı vardır. $c=m-k.10^n$ olsun ki bu durumda $c < 10^n$ olmalı. Yukarıdaki sayımın bir sonucu olarak $[0,m]$ aralığından bir sayı seçildiğinde 4 sembolü barındırma olasılığı en az
$\frac{k.(10^n-9^n)}{m} = \frac{k.(10^n-9^n)}{k.10^n+c} \geq \frac{k.(10^n-9^n)}{k.10^n+10^n}=\frac{k}{k+1} \cdot (1-(\frac{9}{10})^n)$
olmalı.
[Düzenlendi. Aşağıdaki yorumu okuyunuz.]