Başta amacım $\mathbb{Q}$ kümesini giderek genişletip continuum hipotezini yanlışlayacak bir küme bulmaktı. Sonra öğrendim ki Gödel bunun yapılamayacağını kanıtlamış. Ben de o çalışmamdan arta kalan sorulardan ikisini buraya yazıyorum.
p asal olsun.
$ \bigcup_{k=2}^{\infty} \bigcup_{p=2}^{\infty} \mathbb{Q}[\sqrt[k]p]$ kümesi sayılabilir kümelerin birleşimi olduğundan sayılabilirdir.
Soru1) Tüm cebirsel sayılar bu kümenin elemanı mıdır?
Soru2) $ \bigcup_{\alpha cebirsel değil} \bigcup_{k=2}^{\infty} \bigcup_{p=2}^{\infty} \mathbb{Q}[\sqrt[k]p , \sqrt[k]\alpha ]$ kümesi tüm reel sayıları içerir mi? İçermiyorsa reellerde olup bu kümede olmayan bir eleman bulunabilir mi?