Eisenstein's kriteri

Question

eisenstein kriterini uygulayarak Q(x) içinde x^8-1 in indirgenemez faktörleri

Comments

$x^{8}-1=(x^{4}-1)(x^{4}+1)=(x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$ şeklindedir. Einstein's kriteri bu polinoma uygulanamaz.

---

teşekkür ederim

Answer 1

Verilen polinom birin 8. koklerini kok olarak kabul eden polinomdur.

$x^8-1=Q_8Q_4Q_2Q_1$ olarak carpanlara ayrilir. Yorumda zaten bu polinomlar verilmis.

Her $n$ pozitif tam sayisi icin bu (siklotomik-cyclotomic) polinomlar rasyonel sayilar uzerinde indirgenemezdir.  

Mesela
1) $x^2+1>0$ oldugundan hic reel koku yoktur, dolayisiyla indirgenemezdir.
2) $f(x)=x^2+1$ icin $f(x+1)=x^2+2x+2$ olur. Buna Einstein's kriterini uygulayailirsin.
3) $g(x)=x^4+1$ icin de $g(x+1)=x^4+4x^3+6x^2+4x+2$ olur, buna da uygulayabilirsin.

Comments

anladım ama şu sonunda x^2+1 için diyoruz yerine x+1 yazıyoruz ya birde aynı işlemi g de yapıyoruz onu neden yapıyoruz yani x^2+1 ve x^4+1 için yazıyoruz.ayrıca x-1 de yazacak mıyım yerlerine.

---

Eisenstein kriterinin direk olarak uygulanamadığı yerler var bu soruda olduğu gibi. Onun yerine $ x$ icin $x+a$ alınarak elde edilen polinoma kriter uygulanır. Böylece başlangıçta verilen polinomun indirgenmezligi belirlenmiş olur. Bunun ispatını bulabilirsin yada yapabilirsin.