$$\mathcal{A}=\left\{A\big{|}0<|A|<\aleph_0\right\}$$
yani $\mathcal{A}$ ailesi, kardinalitesi sıfırdan büyük ve kardinalitesi en küçük kardinal sayıdan küçük olan kümelerin oluşturduğu bir aile olmak üzere
$$\beta=\left\{(A,B)\big{|}|A|=|B|\right\}\subseteq \mathcal{A}^2$$
bağıntısı, $\mathcal{A}$ kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır. $\beta$ denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının herbirine bir doğal sayı, denklik sınıflarını oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de doğal sayılar kümesi denir.
$$[\{\emptyset \}]=\left\{X\big{|}|X|=|\{\emptyset\}|\right\}$$ denklik sınıfı "bir" diye adlandırılır ve "1" sembolü ile gösterilir yani
$$1:=[\{\emptyset \}]=\left\{X\big{|}|X|=|\{\emptyset\}|\right\}.$$
$$[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}]=\left\{X\big{|}|X|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}|\right\}$$ denklik sınıfı "iki" diye adlandırılır ve "2" sembolü ile gösterilir yani
$$2:=[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}]=\left\{X\big{|}|X|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}|\right\}.$$
$$\vdots$$
$$\mathbb{N}:=\mathcal{A}\big{/}\beta=\left\{[X]\big{|}X\in\mathcal{A}\right\}=\left\{[\{\emptyset\}],[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}],\ldots\right\}=\{1,2,3,\ldots\}$$