Aritmetik dizi

Question

Elemanları pozitif olan $a_1, a_2, \dots a_n$ aritmetik dizisinde,

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac 1 {\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\dots + \frac 1 {\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac {n-1} {\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Bu ifadede her toplamın paydası eşleniği ile çarpılırsa,verilen eşitlik

$$=\frac{\sqrt{ a_1}-\sqrt{a_2}}{a_1-a_2}+\frac{\sqrt{ a_2}-\sqrt{a_3}}{a_2-a_3}+\frac{\sqrt{ a_3}-\sqrt{a_4}}{a_3-a_4}+\dots+\frac{\sqrt{ a_{n-1}}-\sqrt{a_n}}{a_{n-1}-a_n}$$ olacaktır.  Bu aritmetik dizinin ortak farkı $d$ olsun. $a_n=a_1+(n-1).d$ olduğunu da kullanalım. Bu son ifade de

 $$a_1-a_2=a_2-a_3=a_3-a_4=\dots=a_{n-1}-a_n=-d$$ ve Paydaki terimlerinde kısaltılması ile,

$$=\frac{\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n}}{-d}$$

$$=\frac{a_1-a_n}{-d(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n})}$$

$$=\frac{a_1-(a_1+(n-1)\cdot d)}{-d(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n})}$$

$$=\frac{-(n-1)\cdot d}{-d(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n})}$$

$$=\frac{(n-1)}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$$ olacaktır.

Comments

Açıklan bazı parantezleri kapatıp bir de unutulan $-$ işaretini ekledim.

---

Teşekkürler hocam. Demek ki dikkatten kaçmış.