Question

R birimli bir halka, u bir tersinir eleman ve char R < ∞ olsun.(R,+) toplamsal grubunda u elemanının mertebesi |u| olmak üzere char R =|u| olduğunu gösteriniz.

Comments

$0$ elemani disinda olmali herhalde. Bir de zaten karakter tanimi bu degil mi? Sizdeki karakter tanimi nedir? 

---

Halka birimli olduğundan birimle çarptığımızda 0'ı vericek en küçük tamsayı halkanın karakteristiğini verir.Benim anlamadığım mertebeyle nasıl bağdaştırıcaz nerede kullanıcaz bunu soruda :S

---

$|u|=n$ ise $u+\cdots+u=nu=0$. Tum $u$ elemanlari icin (minimal) $nu=0$'yu veren $n$ de karakterdir. Bu karakter cisimlerde $0$ ya da asal bir sayi olmalidir.

düzenleme: cisimlerde eklemesi..

---

Halkanın karakteristiğinin $n$ olmasından kasıt, her $u$ için $n$ tane $u$'nun toplamının sıfır olmasıysa, elbette ki karakteristik asal sayı olmak zorunda değildir.

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ halkasının karakteristiği $6$'dır. Ama misal ters elemanların toplamsal gruba göre mertebeleri de $6$'dır. Bu da senin soruna yanıt sanırım Sercan.

---

Haklısın....

Answer 1

$R$ halkasının karakteri $n$ olsun ve $u$ da tersinir bir elaman olsun. $u+\cdots+u$ toplamı ($n$ tane) sıfıra eşit olduğu için $u$'nun mertebesi $n$'yi böler. Diyelim ki $m<n$ mertebe olsun. $1+1+\cdots+1$ (m) tane sıfır olamaz, olsaydı $R$'nin karakteristiği $n$ olamazdı. Ama bu demektir ki $u$ bir sıfır-bölen. Çünkü $$(1+\cdots+1)\cdot u=0$$ ($m$ tane $1$ var) Sıfır bölenler tersinir olamaz, çelişki.